『数学期望』空之轨迹kiseki

$\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{m}$

$\mathrm{S}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}$

根据期望的线性性：$\mathrm{E}(x+y)=\mathrm{E}(x)+\mathrm{E}(y)$.

那么有$\mathrm{E}({\sum }_{i=1}^m{a}_i)={\sum }_{i=1}^m\mathrm{E}(a_i)$.

对于任意 $i$ 有$\mathrm{E}(a_i)={\sum }_{j=1}^i{a}_j\times p[i][j].j$表示 $a_j$ 的权值为数列中的位置

$p[i][j]$表示第 $i$ 个位置出现 $a_j$ 的概率。则有：$$p[i][j]=\frac{1}{i}\times \sum _{k=1}^{i-1}p[k][j-1]$$

显然只需要前面的某一次出现了 $j-1$ 下一次就能弄到 $j$ 。

并且有 $i$ 种相同的情况，因此需要除以 $i$ (还要包含$0$)。

$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}$

#include <cstdio>
#include <iostream>

#define int long long

using namespace std;
const int N = 2000; 
const int P = 998244353;

int n;
int a[N], p[N][N], f[N], inv[N];

int read(void)
{
	int s = 0, w = 0; char c = getchar();
	while (c < '0' or c > '9') w |= c == '-', c = getchar();
	while (c >= '0' and c <= '9') s = s*10+c-48, c = getchar();
	return w ? -s : s;
}

int power(int a,int b)
{
	int res = 1;
	while (b > 0)
	{
		if (b & 1) res = res * a % P;
		a = a * a % P; b >>= 1;
	}
	return res;
}

signed main(void)
{
	freopen("kiseki.in","r",stdin);
	freopen("kiseki.out","w",stdout);
	n = read(), n = read();
	for (int i=1;i<=n;++i) a[i] = read();
	for (int i=1;i<=n;++i) inv[i] = power(i,P-2);
	p[0][0] = 1, f[0] = 0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	    for (int j=1;j<=i;++j)
	    {
	    	for (int k=0;k<i;++k)
	    	    p[i][j] = (p[i][j] + p[k][j-1] * inv[i]) % P;
	    	f[i] = (f[i] + a[j] * p[i][j]) % P;
	    }
	int ans = 0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
	    ans = (ans + f[i]) % P;
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

最后

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