随机过程初步

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我是靠谱客的博主舒心外套，最近开发中收集的这篇文章主要介绍随机过程初步，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

1. 定义

设 $(Omega, mathcal F,P)$ 是一个概率空间，对每个 $tin T$ （时间集）， $X_t(w)$ 是定义在其上取值于 $(S,B)$ 上的随机变量（每一个不同的 $t$ ，对应一个不同的随机变量，随机过程是随机变量关于时间的函数），则称 ${X_t;tin T}$ 为 $T$ 上的一个随机过程。

t 是时间，可以连续，也可为离散；
- $X$ 为状态，可以连续，也可为离散；
- 掷硬币（离散状态），电压值的变化（连续状态）
一般我们在理解时，成 $X_t$ 是过程在时刻 $t$ 的状态， $X_t$ 的取值范围 $S$ 为状态空间，它不一定为实数空间，根据 $T$ 和 $S$ 的类型不同，又可将随机过程分为不同的类型。

时间集的不同类型：
- $[0, infty)$ ：从当前时刻向前延伸；
- $(-infty, infty)$ ：既可以向前，也可以向后；
- $(a, b)$ ：某一个时间段（当然也可以是闭集合）
- ${0, 1, ldots,n}$ ：离散时间（有限或者无限）
- 2. 多维随机变量与随机过程
  - 多维随机变量 $(xi_1(w),xi_2(w),ldots,xi_n(w))$ ，其联合分布函数为：
    
    $F (x 1, x 2, \dots, x n) = P (ξ 1 (w) \leq x 1, ξ 2 (w) \leq x 2, \dots, ξ n (w) \leq x n)$ $F(x_1,x_2,ldots,x_n)=P(xi_1(w)leq x_1,xi_2(w)leq x_2,ldots,xi_n(w)leq x_n)$
    
    不同的随机变量的联合；
  - 随机过程， ${X_t;tin T}$ ，不再是分布函数，而是联合分布族（这里族对应的英文概念为 family，之所以称其为族，在于 $n$ 可以变化， $ngeq 1$ ）：
    
    $F (t 1, t 2, \dots, t n, x 1, x 2, \dots, x n) = P (X t 1 (w) < x 1, \dots, X t n (w) < x n)$ $F(t_1,t_2,ldots,t_n,x_1,x_2,ldots,x_n)=P(X_{t_1}(w)lt x_1,ldots,X_{t_n}(w)lt x_n)$
    
    同一随机过程在不同时刻得到不同的随机变量；
  3. 联合分布族的性质
  - 对称性：对 $(1, 2, ldots, n)$ 的任一排列 $(j_1, j_2, ldots, j_n)$ 有：
    
    $F (t j 1, t j 2, \dots, t j n; x j 1, x j 2, \dots, x j n) = F (t 1, t 2, \dots, t n; x 1, x 2, \dots, x n)$ $F(t_{j_1},t_{j_2}, ldots,t_{j_n};x_{j_1},x_{j_2}, ldots, x_{j_n})=F(t_1, t_2, ldots, t_n; x_{1}, x_2, ldots, x_n)$
    在 $n$ 个时间点上所取得的 $n$ 个随机变量构成的联合分布（事件的相对顺序对概率没有影响， $Acap B = B cap A$ ）
  - 相容性：对任意 $1leq mlt n$ 和 $X_1, ldots, X_nin R$ 有：
    
    $F (t 1, t 2, \dots, t m, t m + 1, \dots, t n; x 1, \dots, x m, \infty, \infty) = F (t 1, t 2, \dots, t m, t m + 1, \dots, t n; x 1, \dots, x m)$ $F(t_1, t_2, ldots, t_m, t_{m+1}, ldots, t_n; x_1, ldots, x_m, infty, infty)=F(t_1, t_2, ldots, t_m, t_{m+1}, ldots, t_n; x_1, ldots, x_m)$
    也即是 $n$ 维退化为 $m$ 维联合分布；
    证明方法还是根据定义， $F(t_1, t_2, ldots, t_m, t_{m+1}, ldots, t_n; x_1, ldots, x_m)=P(X_1lt x_1, X_2lt x_2, ldots, X_n lt infty)$
  4. 随机过程的分类
  - 独立增量过程：对任意的 t0<t1<⋯<tn,ti∈T,i=1,2,…,n ，如果 Xt1−Xt0,⋯,Xtn−Xtn−1 是独立增量。
    - 平稳独立增量过程（平稳就是某种意义上的不变），时间差一定 ⇒
  - 平稳过程：
    - 强平稳过程： $(X_{t_1+h}, X_{t_2+h}, ldots, X_{t_n+h})$ 都是同分布的，也即不随时间单位的平移而改变，也与平移任何的时间单位无关，联合分布都是同分布的；
    - 弱平稳过程：二阶矩过程，任意时间 $EX_t^2lt infty$ ，且 $C(s, t)=EX_sX_t-EX_sEX_t$ 仅依赖于 $|t-s|$ （两个随机变量的协方差）（既然具有平稳性，就要求某个性质不变）；
  - 更新过程：是在计数过程（点过程）概念的基础上定义的，也即需对计数过程强加一些新的限制，事件间的时间间隔（ $t_2-t_1,t_3-t_2,ldots, t_n-t_{n-1}$ ）独立同分布；