【机器学习】EM算法详解

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EM算法

EM算法是一种迭代算法，用于含有隐变量（hidden variable）的概率模型参数的极大似然估计，或极大后验概率估计。EM算法的每次迭代由两步组成：E步，求期望（expectation）；M步，求极大（maximization）。所以这一算法称为期望极大算法（expectation maximization），简称EM算法。概率模型有时既含有观测变量（observable variable），又含有隐变量或者潜在变量（latent variable）。EM算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法，或极大后验概率估计法。

算法引入

最大似然估计

一个例子：假如你去赌场，但是不知道能不能赚钱，你就在赌场门口等，出来一个人，就问这个人是赚了还是赔了，如果问了10个人都说赚了，那么你就会认为，赚钱的概率肯定是非常大的。那么我们就可以理解这样的问题：

• 已知：1.样本服从分布的模型，2.观测到的样本

• 求解：模型的参数

总的来说：极大似然估计就是用样本来估计模型参数的统计学方法。

上面介绍一个粗浅的例子，现在我们引入一个最大似然函数的数学问题：100名学生的身高问题

这个时候，我们可以认为这100个人的身高是满足高斯分布的（正太分布），那么就涉及到两个参数：均值($\mu$)和标准差($\delta$)，或者方差(${\delta }^2$)，为了便于表示，这里我们统一使用$\theta$表示,根据极大（最大）似然估计，我们就要找到两个参数的值，使得恰好抽到这100个学生的概率最大。那么数学化则有：

• 样本集 X = { x 1 , x 2 , ⋯   , x N } , N = 100 X={x_1,x_2,cdots,x_N},N=100 X={x1​,x2​,⋯,xN​},N=100

• 概率密度：$p(x_i|\theta )$抽到某个人i(的身高)的概率

• $\theta$是服从分布的参数

• 独立同分布：同时抽到这100个人的概率就是抽到他们各自概率的乘积。（也就是说，你抽到$x_1$,不会影响抽到$x_2$）

那么，我们就有了目标似然函数：
$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{m}p(x_i;\theta )$$
为了便于计算，我们将等式两边同时取对数有（学过数理统计的友友都应该知道的吧）：
$$l(\theta )=\sum _{i=1}^m\log p(x_i;\theta )$$
下一步，就是什么样的参数$\theta$能够使得出现当前这批样本（抽到这个100个人）的概率最大，那么就要对$\theta$进行估计了。如何做呢？这就是极大似然估计求解的最基本做法了（取对数，求偏导，令等式为0，求解），已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，参数估计就是通过若干次实验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。

EM算法引入

问题升级：当然问题不是那么简单，

• 现在这100个人中，包含的有男生和女生（也就是两个类别，2套参数/2个高斯分布）

• 男生和女生的身高都服从高斯分布，但是参数不同（均值和方差）

• 用数学的语言描述：抽取得到的每个样本都不知道是从哪个（男生/女生）分布抽取的

• 求解目标：男生和女生对应的身高的高斯分布的参数是多少？

那么也就是说，我们加入一个隐变量（是男生，还是女生）。这个时候，传统的极大似然估计就不好解决了，于是就使用EM算法来计算，换句话说，EM算法就是能够计算含有隐变量的极大似然估计算法。让我们继续来看：

我们用Z表示这个隐变量，Z=1或Z=2标记样本来自哪个分布。那么使用之前的最大似然估计函数则有：
$$l(\theta )=\sum _{i=1}^m\log p(x_i;\theta )=\sum _{i=1}^m\log \sum _{Z}p(x_i,z;\theta )$$
上式中，第二个求和符号就是要考虑的隐变量的情况。这个时候使用极大似然估计（求偏导）就不方便计算了。现在先不从数学公式的角度来说EM算法，我们看一个计算案例：

假设有赌场中的两个硬币A,B。我们现在想计算出这两个硬币正面朝上的概率分别是多少？现在有n组（上图中有五组）数据（HT的序列，表示硬币的正反面，并且我们不知道是哪个硬币掷出来的）

我们现在先假设两个硬币的分布（二项分布），初始化时数据最好是比较接近实际情况的，否则可能迭代次数比较多（也和你选择的停迭代止阈值有关），有：A：0.6几率正面，记为${\theta }_A$，B：0.5几率正面，记为${\theta }_B$

现在我们来看第一组数据（HTTTHHTHTH），其中：H有5个，T有5个。那么隐变量Z=A和Z=B.那么就有：

$p_A=C_{10}^{5}0.6^{5}0.4^{10-5}$，$p_B=C_{10}^{5}0.5^{5}0.5^{10-5}$

接着我们选择硬币A,B的概率分别是：$p_a=\frac{p_A}{p_A+p_B}=0.45$,$p_b=1-p_a=0.55$

现在我们进行E步（求期望）：

对硬币A有：$0.45\times 5T=2.2T,0.45\times 5H=2.2H$

对硬币B有：$0.55\times 5T=0.275T,0.55\times 5H=2.275H$。

现在我们对这五组数据分别进行这样的计算，有如上图所示的结果。现在我们使用M步对初始的分布参数进行更新，其中的更新方式一看公式就明白了，就是将硬币A中计算出的所有H，T分别加在一起，然后计算各自得占比，如下：

${\hat{\theta }}_A^{(1)}=\frac{21.3}{21.3+8.6}\approx 0.71,{\hat{\theta }}_B^{(1)}=\frac{11.7}{11.7+8.4}\approx 0.58$

这就是对这五组数据进行了一次迭代计算，之后就是多次迭代计算，最后输出结果。这样一看EM算法其实就很简单了，但是我们凭什么这么做呢？下面我们就带着问题看看EM算法的推导。

EM算法推导

问题：样本 { x ( 1 ) , ⋯   , x ( m ) } {x(1),cdots,x(m)} {x(1),⋯,x(m)}，包含m个独立的样本，其中每个样本i对应的类别z(i)是未知的，所以很难用最大似然估计。
$$l(\theta )=\sum _{i=1}^m\log p(x_i;\theta )=\sum _{i=1}^m\log \sum _{Z}p(x_i,z;\theta )$$
刚才已经说过，使用最大似然估计比较难求解，本来正常求偏导就可以了，但是现在log后面还有求和，那么就麻烦了。于是我们就是使用EM算法进行求解，下面就是对其进行推导。

EM算法推导

我们现在上式中一部分$log{\sum }_{Z}p(x_i,z;\theta )$，对其分子分母同时乘$Q(z)$有：
$$\log \sum _{Z}p(x_i,z;\theta )=log\sum _{Z}Q(z)\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}$$
为什么这么做呢？其实就是为了配凑Jensen不等式（Q(z)是z的分布函数）。这个估计大家都不是很了解，让我们来看看，jensen不等式吧：（需要申明的是，国内与国外定义凹凸函数是不同的，这个大家可以百度一下，不要纠结下面的问题。）

设f是定义为实数的函数，如果对于定义域内的所有实数x，有f(x)的二次导数大于等于0，那么f就是凸函数（你会说，这明明就是凹函数嘛，不要纠结）；如果f是凸函数，X是随机变量，那么：$E(f(X))>=f(E(X))$，我们来解释一下这个属性，上图的实线f是凸函数，X有0.5的概率选择a，也有0.5的概率选择b（这里是假设选值），那么随机变量X的期望值（均值）就为a和b的中值（0.5a+0.5b）即，E[X]=0.5(a+b)。而E[f(X)]=0.5E[f(a)]+0.5E[f(b)]（a和b各有50%的概率取到）。那么从图中可以看出，E[f(X)]>=f(E(X))。，那么对于凹函数，那么就会有：$E[f(X)]<=f(E[X])$。现在Jensen的介绍就告一段落。我们再回到EM算法中涉及的算式：

${\sum }_{Z}Q(z)\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}$可以看成$\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}$的期望，这又该如何理解呢？我们知道在连续变量的概率密度中计算期望的公式$\int xf(x)$，看到这个就不难理解上面的那句话了。下面我们可以设$Y=\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}$,进而化简有:
$$\log \sum _{Z}Q(z)\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}=\log \sum _{Y}P(Y)Y=\log E(Y)$$
这个时候我们就可以利用Jensen不等式了，log函数是凹函数，则有：
$$\log E(Y)\ge E(\log Y)=\sum _{Y}P(Y)\log Y=\sum _{Z}Q(z)\log (\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)})$$
那么对于原极大似然估计则有：
$$l(\theta )=\sum _{i=1}^m\log \sum _{Z}p(x_i,z;\theta )\ge \sum _{i=1}^m\sum _{Z}Q(z)\log \frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}$$
这个时候，我们需要计算的就是下界值，我们通过优化这个下界来使得似然函数最大。那么在训练的过程中，我们使得下界一直取最大，那么最后得到的结果就是我们 需要的。那么问题又来了，如何使得不等式取等号呢，在Jensen不等式中等号的成立条件是随机变量是常数的时候（结合上面中的Jensen不等式的图形，思考一下就应该明白了），那么也就是$Y=\frac{p(x_i,z;\theta )}{Q(z)}=C$，$Q(z)$是z的分布函数，那么我们根据Y对所有的z进行求和有必然为1（概率和为1）：
$$\sum _{Z}Q(z)=\sum _Z\frac{p(x_i,z;\theta )}{C}=1$$
那么为了使得结果为1，所有的分子的和就等于常数C（与分母相同），那么也就是说，C就是所有的$p(x_i,z)$对z求和。我们可以单独拿出Q(z)来看有：
$$Q(z)=\frac{p(x_i,z;\theta )}{C}=\frac{p(x_i,z;\theta )}{{\sum }_{Z}p(x_i,z;\theta )}=\frac{p(x_i,z;\theta )}{p(x_i)}=p(z|x_i;\theta )$$
那么也就是说，Q(z)代表第i个数据是来自$z_i$的概率，这其实就是Estep要做的事情。那么我们来总结一下EM算法：

1. 初始化分布参数$\theta$
2. E-step：根据参数$\theta$计算每个样本属于$z_i$的概率（也就是我们的Q）
3. M-step：根据Q，求出含有$\theta$的似然函数的下界，并最大优化它，得到新的参数$\theta$
4. 不断的迭代更新下去

EM算法的应用

如高斯混合模型，HMM等。简要介绍一下高斯混合模型（GMM），数据可以看作是从数个Gaussian Distribution中生成出来的，GMM由K个Gaussian分布组成，每个Gaussian成为一个”Component“；类似于k-means方法，求解方式根EM一样，不断迭代更新下去。
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最后

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