最大似然

    你知道一个分布，但是不知道分布的具体参数，比如你知道学校男生身高分布服从高斯分布，但是你不知道其参数，即$\theta =[u,\sigma ]$。这是就可以使用最大似然来求解参数。
    首先需要从该分布中采样获取数据，比如你获取了$N$个数据，就可以得到其似然函数，如下：
$$L(\theta )=L(x_1,\dots ,x_n;\theta )=\prod _{i=1}^{N}p(x_i;\theta )$$
其中，每次采样获得的$x_i$都是独立同分布服从$N(u,\sigma )$，所以似然函数可以理解为采样获得这组数据的概率。
    为了求得参数$\hat{\theta }$，我们只要求：
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\log L(\theta )$$
那为什么$\hat{\theta }$就是我们所需要的参数呢，这个就是最大似然的思想：采样得到的数据客观来讲就是概率最大数据。举个最简单的例子，从装有8个黑球和2个红球的袋子中随机取出一个球，在没看到这个球的颜色前，要你猜一个你肯定会猜是黑色的。如果还是不理解可以参考下面的链接。

EM算法

    EM算法是在最大似然的基础上的，就刚刚学校男生身高的例子中，如果给你采样的数据中有男生也有女生，明显男生女生身高服从不同的分布，那如何来求出我们所需要的$\theta$呢？这边我们需要引入隐变量$Z$。同样我们还是要最大化似然函数，为了方便我们记似然函数为：
$$L(\theta )=p(X|\theta )$$
这个和上面的似然函数的表达式是等价的，$X$就是我们采样得到的数据。

算法推导一

目标：
$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }\log p(X|\theta )$$
$$\begin{array}{rl}\log p(X|\theta )& =\log p(X,Z|\theta )-\log p(Z|X,\theta )\\ & =\log \frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}-\log \frac{p(Z|X,\theta )}{q(Z)}(引入概率密度q(Z)不为0)\end{array}$$
等号两边都乘以$q(Z)$，然后对$Z$积分，得到：
$$\log p(X|\theta )=ELBO+KL(q||p)$$
$KL(q||p)={\int }_{Z}q(Z)\log \frac{p(Z|X,\theta )}{q(Z)}dZ\ge 0$，可以用jensen不等式证明。
补充jensen不等式：

如果$f(x)$为凸函数，则$E[f(x)]\ge f(E[x])$，凹函数则相反。上式等号成立时，$\frac{p(Z|X,\theta )}{q(Z)}$取常数，即$\frac{p(Z|X,\theta )}{q(Z)}=c$，${\int }_{Z}p(Z|X,\theta )dZ=c{\int }_{Z}q(Z)dZ\Rightarrow c=1$，所以得$q(Z)=p(Z|X,{\theta }^{(t)})$。

我们取$q(Z)=p(Z|X,{\theta }^{(t)})$，EM算法为迭代算法，${\theta }^{(t)}$为上一轮得到的$\hat{\theta }$。
那么我们要求使得$\log p(X|\theta )$最大的$\theta$值，而ELBO是其下届，我们只要不断最大化下届即可，如下式：
$$\begin{array}{rl}\hat{\theta }& =\arg \underset{\theta }{\max }ELBO\\ & =\arg \underset{\theta }{\max }{\int }_{Z}p(Z|X,{\theta }^{(t)})\log \frac{p(X,Z|\theta )}{p(Z|X,{\theta }^{(t)})}dZ\\ & =\arg \underset{\theta }{\max }{\int }_{Z}p(Z|X,{\theta }^{(t)})\log p(X,Z|\theta )dZ\end{array}$$
    最后的EM算法总结为：
E-step:
$q(Z)=p(Z|X,{\theta }^{(t)})$
M-step:
$\hat{\theta }=\arg {\max }_{\theta }{\int }_{Z}p(Z|X,{\theta }^{(t)})\log p(X,Z|\theta )dZ$
循环E-step，M-step，直到参数$\theta$收敛。

算法推导二

目标函数还是一样的，但是处理方式不同，如下：
$$\begin{array}{rl}\log p(X|\theta )& =\log {\int }_{Z}p(X,Z|\theta )dZ\\ & =\log {\int }_Z\frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}q(Z)dZ\\ & =\log E_{q(Z)}[\frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}](使用jensen不等式)\\ & \ge E_{q(Z)}[\log \frac{p(X,Z|\theta )}{q(Z)}]\end{array}$$
等号成立时，$p(X,Z|{\theta }^{(t)})=cq(Z)$，两边对$Z$积分得：
$$\begin{array}{rl}& {\int }_{Z}p(X,Z|{\theta }^{(t)})dZ=c{\int }_{Z}q(Z)dZ\\ & \Rightarrow c=p(X|{\theta }^{(t)})\\ & q(Z)=\frac{p(X,Z|{\theta }^{(t)})}{c}=\frac{p(X,Z|{\theta }^{(t)})}{p(X|{\theta }^{(t)})}=p(Z|X,{\theta }^{(t)})\end{array}$$
结论和上面一致。
参考：
https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/8537620
https://www.bilibili.com/video/av31906558/?p=1

最后

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