概述
拉格朗日鞍点(Lagrange saddle point)是非线性规划问题中满足特定条件的点。对于非线性规划问题(NP)，它的拉格朗日函数是指目标函数和约束条件中函数的如下线性组合：
L
(
x
,
λ
,
μ
)
=
f
(
x
)
+
∑
i
=
1
p
λ
i
g
i
(
x
)
+
∑
j
=
1
q
μ
j
h
j
(
x
)
L(x,lambda,mu)=f(x)+sumlimits_{i=1}^plambda_ig_i(x)+sumlimits_{j=1}^qmu_jh_j(x)
L(x,λ,μ)=f(x)+i=1∑pλigi(x)+j=1∑qμjhj(x)
其中 x ∈ R n , λ = ( λ 1 , λ 2 , . . . , λ p ) T , μ = ( μ 1 , μ 2 , . . . μ q ) T xin R^n,lambda=(lambda_1,lambda_2,...,lambda_p)^T,mu=(mu_1,mu_2,...mu_q)^T x∈Rn,λ=(λ1,λ2,...,λp)T,μ=(μ1,μ2,...μq)T
满足条件
L
(
x
∗
,
λ
,
μ
)
≤
L
(
x
∗
,
λ
∗
,
μ
∗
)
≤
L
(
x
,
λ
∗
,
μ
∗
)
L(x^*,lambda,mu)le L(x^*,lambda^*,mu^*)le L(x,lambda^*,mu^*)
L(x∗,λ,μ)≤L(x∗,λ∗,μ∗)≤L(x,λ∗,μ∗)
( x , x ∗ ∈ R n ; λ , λ ∗ ∈ R p , λ ≥ 0 , λ ∗ ≥ 0 ; μ ; μ ∗ ∈ R q ) (x,x^*in R^n;lambda,lambda^*in R^p,lambdage0,lambda^*ge0;mu;mu^*in R^q) (x,x∗∈Rn;λ,λ∗∈Rp,λ≥0,λ∗≥0;μ;μ∗∈Rq)
的点称为(NP)的拉格朗日鞍点。
定理
设 ( x ∗ , λ ∗ , μ ∗ ) (x^*,lambda^*,mu^*) (x∗,λ∗,μ∗)是凸优化问题的KKT点，则 ( x ∗ , λ ∗ , μ ∗ ) (x^*,lambda^*,mu^*) (x∗,λ∗,μ∗)为对应的拉格朗日函数的鞍点，同时 x ∗ x^* x∗也是该凸优化问题的全局极小点。
鞍点定理(Saddle Point Theorem)
是关于拉格朗日函数的鞍点与约束优化问题最优点之间的关系定理。鞍点是函数平稳点的一种，应用鞍点的性质，可以推得最优点的充分条件如下：对于约束极小化问题，如果其拉格朗日函数的鞍点 ( x ∗ , λ ∗ , μ ∗ ) (x^*,lambda^*,mu^*) (x∗,λ∗,μ∗) 存在，即有 L ( x ∗ , λ , μ ) ≤ L ( x ∗ , λ ∗ , μ ∗ ) ≤ L ( x , λ ∗ , μ ∗ ) L(x^*,lambda,mu)le L(x^*,lambda^*,mu^*)le L(x,lambda^*,mu^*) L(x∗,λ,μ)≤L(x∗,λ∗,μ∗)≤L(x,λ∗,μ∗)，那么相应的 x ∗ x^* x∗ 必是该约束极小化问题的最优点。由于没有涉及函数的凸性与可微性，适用范围较广，但因求解鞍点很困难，且即使原问题的最优点存在，它的拉格朗日函数也不一定有鞍点，故目前并不实用
最后
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