字符串Hash入门

字符串Hash可以通俗的理解为，把一个字符串转换为一个整数。

如果我们通过某种方法，将字符串转换为一个整数，就可以便的确定某个字符串是否重复出现过，这是最简单的字符串Hash应用情景了。

当然也不难想到，如果有不同的两个字符串同时Hash到一个整数，这样就比较麻烦了。我们希望这个映射是一个单射，所以问题就是如何构造这个Hash函数，使得他们成为一个单射。不用担心，接下来的内容正要讲解。

Hash方法

给定一个字符串$S=s_1{s}_2{s}_3..s_n$，对字母x，我们规定$idx(x)=x{-}^{\prime }{a}^{\prime }+1$。 （当然也可以直接用$s_i$的$ASCII$值）

自然溢出方法

Hash公式

unsigned long long Hash[n]

$hash[i]=hash[i-1]\ast p+id(s[i])$

利用unsigned long long的范围自然溢出，相当于自动对$2^{64}-1$取模

单Hash方法

Hash公式

$hash[i]=(hash[i-1])\ast p+idx(s[i])\%mod$

其中$p$和$mod$均为质数，且有$p<mod$。

对于此种Hash方法，将p和mod尽量取大即可，这种情况下，冲突的概率是很低的。

举例

如取$p=13,mod=101$，对字符串$abc$进行Hash
hash[0] = 1
hash[1] = (hash[0] * 13 + 2) % 101 = 15
hash[2] = (hash[1] * 13 + 3) % 101 = 97

这样，我们就认为字符串$abc$当做97，即97就是$abc$ 的hash值。

双Hash方法

将一个字符串用不同的$mod$ hash两次，将这两个结果用一个二元组表示，作为Hash结果。

Hash公式

$hash1[i]=(hash1[i-1])\ast p+idx(s[i])\%mod1$

$hash2[i]=(hash2[i-1])\ast p+idx(s[i])\%mod2$

hash结果为$<hash1[n],hash2[n]>$

这种Hash很安全。

获取子串的Hash

如果我们求出一个串的Hash，就可以$O(1)$求解其子串的Hash值。
我们先以一个具体的例子来理解。

例子

假设有一$|S|=5$的字符串，设$S_i$为第$i$个字符，其中$1\le i\le 5$。

根据定义分别求出$hash[i]$

$hash[1]=s_1$
$hash[2]=s_1\ast p+s_2$
$hash[3]=s_1\ast p^2+s_2\ast p+s_3$
$hash[4]=s_1\ast p^3+s_2\ast p^2+s_3\ast p+s_4$
$hash[5]=s_1\ast p^4+s_2\ast p^3+s_3\ast p^2+s_4\ast p+s_5$

现在我们想求$s_3{s}_4$的hash值，不难得出为$s_3\ast p+s_4$,并且从上面观察，如果看$hash[4]-hash[2]$并将结果种带有$s_1,s_2$系数的项全部消掉，就是所求。但是由于$p$的阶数，不能直接消掉，所以问题就转化成，将$hash[2]$乘一个关于$p$的系数，在做差的时候将多余项消除，从而得到结果。

不难发现，对应项系数只差一个$p^2$，而4 - 3 + 1 = 2(待求hash子串下标相减再加一)，这样就不难推导出来此例题的求解式子。

$$hash[4]-hash[2]\ast p^{4-3+1}$$

至此，通过对上例的归纳，可以得出如下的公式。

公式

若已知一个$|S|=n$的字符串的hash值，$hash[i],1\le i\le n$，其子串$s_l..s_r,1\le l\le r\le n$对应的hash值为：

$$hash=hash[r]-hash[l-1]\ast p^{r-l+1}$$

考虑到$hash[i]$每次对$p$取模，进一步得到下面的式子：

$$hash=(hash[r]-hash[l-1]\ast p^{r-l+1})\%MOD$$

看起来这个式子人畜无害，但是对于取模运算要谨慎再谨慎，注意到括号里面是减法，即有可能是负数，故做如下的修正：

$$hash=((hash[r]-hash[l-1]\ast p^{r-l+1})\%MOD+MOD)\%MOD$$

至此得到求子串hash值公式。

值得一提的是，如果需要反复对子串求解hash值，预处理$p$的$n$次方效果更佳。

字符串Hash的应用

题型一

描述

问题：给两个字符串S1，S2，求S2是否是S1的子串，并求S2在S1中出现的次数

数据范围：1=<|S1|，|S2|<=10000

解法

求出S1和S2的Hash值，并且$n^2$的求解出S1所有子串的Hash值，放入map中，查询即可。复杂度$n^{2}logn$

题型二

描述

问题：给N个单词串，和一个文章串，求每个单词串是否是文章串的子串，并求每个单词在文章中出现的次数。

数据范围：文章串长度：[1,10^{5]，N个单词串总长：[1,10}6]

解法

设单词串总长为$|S|$，文章串总长为$|A|$。

此题和第一题做法相同。复杂度$|A{|}^{2}log|A|+|S|$

题型三

描述

问题：给两个字符串S1,S2，求它们的最长公共子串的长度。

数据范围：1=<|S1|，|S2|<=10^5

解法

将S1的每一个子串都hash成一个整数

将S2的每一个子串都hash成一个整数

两堆整数，相同的配对，并且找到所表示的字符串长度最大的即可。

复杂度：$O(|S1{|}^2+|S2{|}^2)$

PS：为觉得开数组不保险，所以上面的题一和题二都用的map存，这里我也不知道能不能实现$O(1)$的存储和查询。

题型四

描述

问题：给一个字符串S，求S的最长回文子串。

比如abcbbabbc的最长回文子串是cbbabbc，bbabb也是回文串，但不是最长的

数据范围： 1＝<|S|<=10^5

解法

先求子串长度位奇数的，再求偶数的。枚举回文子串的中心位置，然后二分子串的长度，直到找到一个该位置的最长回文子串，不断维护长度最大值即可。

复杂度：$O(|S|\ast log|S|)$

Hash素数的选取

为了防止冲突，要选择合适的素数，像1e9+7,1e9+9的一些素数，出题人一般会卡一下下，所以尽量选择其他的素数，防止被卡。下面是一些可供选择的素数。
上界和下界指的是离素数最近的$2^n$的值。

来源 ：http://planetmath.org/goodhashtableprimes

最后

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