2.3 $L^{\infty }(E)$空间

定义3.8（$L^{\infty }(E)$空间）：设 $E$ 为 $\mathbb{R}$ 中Lebesgue可测集, 记 $L^{\infty }(E)$ 为 $E$ 上可测且 本性有界 $(\exists M<\infty$ 使 $|x(t)|\le M$, a.e $t\in E$, 亦可 称 $M$ 为 $x$ 的一个本性上界 $)$ 的函数 $x$ 全体组成的空间,其中几乎处处相等的函数视为同一元, 在通常加 法和数乘下是一个线性空间，
定义

$$\Vert x\Vert =\underset{m\left(E_0\right)=0}{\inf }\underset{t\in E{E}_0}{\sup }|x(t)|,\forall x\in L^{\infty }(E)$$

• 注1: 上述下确界是可达的, 即存在零测集 $E_0\subseteq$ $E$ 使得 ${\sup }_{t\in E{E}_0}|x(t)|=\Vert x\Vert$;

• 注2：$|x(t)|\le \Vert x\Vert ,\text{ a.e }t\in E$

• 注3： ∥ x ∥ = inf ⁡ { M ≥ 0 : ∣ x ( t ) ∣ ≤ M , |x|=inf {M geq 0:|x(t)| leq M, quad ∥x∥=inf{M≥0:∣x(t)∣≤M, a.e $t\in E\}$, 称 $\Vert x\Vert$ 为 $x$ 的本性界，记为$esssu{p}_{t\in E}|x(t)|$

关于$L^{\infty }$空间的性质：

• $\left(L^{\infty }(E),\Vert \cdot \Vert \right)$ 是一个 $(B)$ 空间

• 当 $m(E)>0$ 时, $L^{\infty }(E)$ 是不可分的

2.4赋范空间的进一步性质

赋范空间的完备化

设 $(X,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋范空间, 定义 X ~ = { x ~ = { x n } n = 1 ∞ : { x n } n = 1 ∞ widetilde{X}=left{tilde{x}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}:left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}right. X ={x~={xn​}n=1∞​:{xn​}n=1∞​ 为 $X$ 中 Cauchy 列 $\}$。

当 { x n } n = 1 ∞ left{x_{n}right}_{n=1}^{infty} {xn​}n=1∞​ 为 Cauchy列时 { ∥ x n ∥ } n = 1 ∞ left{left|x_{n}right|right}_{n=1}^{infty} {∥xn​∥}n=1∞​ 也是Cauchy列, 由此定义
∥ x ~ ∥ = lim ⁡ n → ∞ ∥ x n ∥ , ∀ x ~ = { x n } n = 1 ∞ ∈ X ~ begin{aligned} &|tilde{x}|=lim _{n rightarrow infty}left|x_{n}right|, quad forall tilde{x}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty} in tilde{X} \ end{aligned} ​∥x~∥=n→∞lim​∥xn​∥,∀x~={xn​}n=1∞​∈X~​
则有：

x ~ + y ~ = { x n + y n } n = 1 ∞ , α x ~ = { α x n } n = 1 ∞ tilde{x}+tilde{y}=left{x_{n}+y_{n}right}_{n=1}^{infty}, quad alpha tilde{x}=left{alpha x_{n}right}_{n=1}^{infty} x~+y~​={xn​+yn​}n=1∞​,αx~={αxn​}n=1∞​

零元 θ ~ = { x n } n = 1 ∞ ( tilde{theta}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty} quadleft(right. θ~={xn​}n=1∞​( 其中 $\Vert x_n\Vert \to 0)$
$\tilde{x}=\tilde{y}⟺\Vert x_n-y_n\Vert \to 0$ (其中 x ~ = { x n } n = 1 ∞ , y ~ = { y n } n = 1 ∞ tilde{x}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}, quad tilde{y}=left{y_{n}right}_{n=1}^{infty} x~={xn​}n=1∞​,y~​={yn​}n=1∞​ )

则 $(\tilde{X},\Vert \cdot \Vert )$ 是一个 $(\mathrm{B})$ 空间,
且 $X$ 与 $\tilde{X}$ 的稠子空间 X ~ 0 = { x ~ ∈ X ~ : x ~ = { x n } n = 1 ∞ widetilde{X}_{0}=left{tilde{x} in widetilde{X}: tilde{x}=left{x_{n}right}_{n=1}^{infty}right. X 0​={x~∈X :x~={xn​}n=1∞​ 为常驻列 $\}$ 等价, 称 $\tilde{X}$ 为 $X$ 的完备化。

注：赋范空间的完备化空间在等价的意义下是唯一 的, 即: 如果 $X$ 为赋范空间, $E$ 和 $F$ 为 $(\mathrm{B})$ 空间且 $X$ 等 价于 $E$ 和 $F$ 的稠子空间, 则 $E$ 和 $F$ 等价。

商空间

设 $M$ 是线性空间 $X$ 的(线性)子空间。 对 $\forall x,y\in$ $X$, 定义 $x\sim y\stackrel{\text{ def }}{⟺}x-y\in M$, 则 “ $\sim$ ”为 $X$ 上的一个 等价关系。 $X$ 被分为两两不交的等价类, 记 $\tilde{X}$ 为所有 这些等价类组成的集合。 记 $x$ 所在的等价类为 $\tilde{x}$, 易 知 x ~ = x + M = { x + y : y ∈ M } tilde{x}=x+M={x+y: y in M} x~=x+M={x+y:y∈M} 。定义：
$$\tilde{x}+\tilde{y}=\widetilde{x+y},\alpha \tilde{x}=\widetilde{\alpha x},\text{ 零元 }\tilde{\theta }=M$$
则 $\tilde{X}$ 成为一个线性空间, 称之为 $X$ 关于 $M$ 的商空间, 记为 $X/M$ 。
如果 $X$ 是赋范空间, $M$ 为 $X$ 的闭子空间, 可以在 $X/M$ 上 定义范数
$$\Vert \tilde{x}\Vert =\underset{y\in \tilde{x}}{\inf }\Vert y\Vert ,\forall \tilde{x}\in X/M$$
使其成为一个赋范空间。称 $(X/M,\Vert \cdot \Vert )$ 为赋 范商空间。

定理 3.9： 设 $X$ 为 $(B)$ 空间, $M\subseteq X$ 为闭子空间, 则 $X/M$ 是 $(B)$ 空间; 反之, 如果 $X/M$ 和 $M$ 为 $(B)$ 空间, 则 $X$ 是 $(B)$ 空间。

乘积空间

设 $X,Y$ 为赋范空间, $X\times Y$ 按坐标定义 加法和数乘成为一个线性空间, 定义
$$\Vert (x,y)\Vert =\Vert x\Vert +\Vert y\Vert ,\forall (x,y)\in X\times Y$$
则 $X\times Y$ 是一个赋范空间。

关于其完备性和可分性有以下直觉，并可证明其成立：

$X$ 和 $Y$ 完备 $⟺X\times Y$ 完 备。

$X$ 和 $Y$ 可分 $⟺X\times Y$ 可分。

基

设 $X$ 为线性空间, $A\subseteq X$, 则 $X$ 中所有包含 $A$ 的 线性子空间的交仍为 $X$ 的线性子空间，称这个交为 由 $A$ 生成的线性子空间, 记为 $\mathrm{span}(A)$ 。事实上
$$\mathrm{span}(A)=\left\{\sum _{j=1}^n{\xi }_j{x}_j:n\in \mathbb{N},{\xi }_j\in \mathbb{K},x_j\in A\right\}$$

• 如果 $A$ 中的任意有限个元均线性无关, 则称 $A$ 是线性无关的。

如果 $H\subseteq X$ 线性无关且 $\mathrm{span}(H)=X$, 则称 $H$ 为 $X$ 的 Hamel基。

此时, $\forall x\in X$, $\exists$! 系数 { ξ h } h ∈ H left{xi_{h}right}_{h in H} {ξh​}h∈H​ (其中非零项有限), 使得 $x={\sum }_{h\in H}{\xi }_{h}h$,称 $\overline{\overline{H}}$ 为 $X$ 的Hamel维数（称 { ξ h } h ∈ H left{xi_{h}right}_{h in H} {ξh​}h∈H​ 为 $x$ 关于 Hamel 基 $H$ 的 Hamel 系 数）。
当 $\overline{\overline{H}}<{\aleph }_0$ 时, 称 $X$ 是有限维的; 否则称 $X$ 是无穷维的。

• 任何(非平凡的)线性空间均存在 Hamel基。

• 设 { e n } n = 1 ∞ ⊆ X ( X left{e_{n}right}_{n=1}^{infty} subseteq X(X {en​}n=1∞​⊆X(X 为赋范空间 $)$, 如果 $\forall x\in X$, 存在 唯一的 { ξ n } n = 1 ∞ ⊆ K left{xi_{n}right}_{n=1}^{infty} subseteq mathbb{K} {ξn​}n=1∞​⊆K, 使得 $x={\sum }_{n=1}^{\infty }{\xi }_n{e}_n$ (按范数收敛), 则称 { e n } n = 1 ∞ left{e_{n}right}_{n=1}^{infty} {en​}n=1∞​ 为 $X$ 的Schauder 基。

注: Schauder基都是线性无关的; 如果 $X$ 具有 Schauder 基则 $X$ 可分。反之不成立。

等价范数

设 $X$ 上有两个范数 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 和 $\Vert \cdot {\Vert }_2$, 如果 存在 $\alpha ,\beta >0$ 使
$$\alpha \Vert x{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_2\le \beta \Vert x{\Vert }_1,\forall x\in X$$
则称 $\Vert \cdot {\Vert }_1$ 与 $\Vert \cdot {\Vert }_2$ 等价,此时, $\left(X,\Vert \cdot {\Vert }_1\right)$ 与 $\left(X,\Vert \cdot {\Vert }_2\right)$ 线性同胚 (线性同构且同胚)。

• 范数的等价是一个等价关系

2.5 有限维赋范空间

定理 3.10： ${\mathbb{K}}^n$ 上的任意两个范数都等价。

推论 ：

• $n$ 维线性空间上的任意两个范数都等价;

• $\mathbb{K}$ 上任意两个 $n$ 维赋范空间均线性同胚;

• 有限维赋范空间均完备;

• 任意赋范空间的有限维子空间均是闭的;

• 有限维赋范空间中的有界集都是列紧的。

事实上， 有界集都列紧是有限维赋范空间的一个特征。

为证明上述结论，先给出一个引理：

引理 3.11：( Riesz $)$ 设 $X$ 赋范, $X_0$ 为 $X$ 的真闭子空间, 则 ∀ ε > 0 , ∃ x 0 ∈ S X = { x ∈ X : ∥ x ∥ = 1 } forall varepsilon>0, exists x_{0} in S_{X}={x in X:|x|=1} ∀ε>0,∃x0​∈SX​={x∈X:∥x∥=1} (单位球面) 使
$$\Vert x_0-x\Vert >1-\epsilon ,\forall x\in X_0$$
上述结果可写成 $\forall \epsilon >0,\exists x_0\in S_X$ 使 $d\left(x_0,X_0\right)\ge$

有限维赋范空间的等价刻画：

定理 3.12： $X$ 为有限维赋范空间 $⟺X$ 中的有界集都列紧 $⟺X$ 中的单位球面 $S_X$ 列紧。

最后

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