✦一元函数的幂级数展开: #[
在
处展开]
初学时通常写作
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其中
物理学中常考察微小变动的
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阶近似,也就会记:
即
其实最后那一下好像也没哪里是这么写的,
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究竟是不是个常数,说到底还是看你自己怎么认为.当然啦,相对展开的过程而言
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确实是个常数,他是个定点,但是
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这一小块仅仅只是为了求出这个函数的
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阶导函数,然后考察导函数在
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处的取值.
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也可以不取一个确切的值而当作变量,重要的是这个对应关系,这个变化过程.
✦二元函数的幂级数展开: #[
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在
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处展开]
与一元情况相仿,我们也记:
考虑符号简洁性,引入向量记号:
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显然有:
或者
回到最初的记录方法就是:
三个记法没别的意思,就是希望能熟练这种等价转换.
然后还有一个对不熟练求和记号的人而言比较直观的记法:
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即
✦多元函数的幂级数展开: #[
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在
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处展开]
虽然类比起来是简单的,但我们仍然提一下多元形式:
或者
回到最初的记录方法就是:
三个记法没别的意思,就是希望能熟练这种等价转换.
同样给出相对求和符号更直观的记法：
即
特别地,当
时: (即三元函数时)
其中
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即:
一般也就展开到二阶:
举一个实际运用的例子,也就是电动力学中的电势多级展开:
将
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中的
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展开是如何完成的呢?
前面得到的三元函数展开公式:
接下来将[
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类比于
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或
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] , [展开点
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类比于
![]()
或
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] , [
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类比于
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]
再利用上述结论:
#记
且做多级展开时满足
#
表源点, 而
表场点,且记
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.
#此外
与
也是完全不一样的东西,分别是对场坐标与源坐标求偏导.
于是乎:
其中
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且有
如何理解将[
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类比于
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或
![]()
] , [展开点
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类比于
![]()
或
![]()
] , [
![]()
类比于
![]()
] 呢?
大致情况如图:
相对于
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这个尺寸,电荷分布区域
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看起来与一个点无异. 值得注意的是,原点必须取在区域内这个展开才能够在低阶项就有足够高的近似程度,因为零阶近似就是将电荷集中在原点的电势. 而区域
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相对而言是如此的小以至于原点的选择在区域
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内是等价的.
所以当你要展开函数
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时,自然要认识到确定了整体特征的展开点就是
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这个点,也就是
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的点,实际上还要认识到在计算
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的积分
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里面
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是个常数,积分变量是
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.自然展开点的函数值就是
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.所以这个修正项/微扰项
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自然是由
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来充当的.
最后
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