多元统计分析-概率,期望,方差,正态分布

概率,期望，方差

　　只有一个变量时

　　　　F(x<=a) = ∫_-∞^af(x)dx   

　　　　当区间取负无穷到正无穷时积分为1

　　推广到多元之后:

　　　　

　　　　　同理，当区间取满整个空间时，积分为1

　　　　　f被称为概率密度函数

 

　　　　　边缘分布函数

　　　　　　　当多元函数的n-m个变量取负无穷到正无穷之后

　　　　　　　概率函数变为有m个自变量的函数(一共有n个自变量)

　　　　　　　此时的概率密度函数被称为这m个自变量的边缘密度函数　　　　

　　　　　　　若n个自变量相互独立，则每个自变量边缘密度函数的乘积为联合分布的概率密度

　　　　　均值与方差：

　　　　　　　均值一元时相同，只不过是在每一位上求均值并最终将他们组合成一个向量

　　　　　　　均值组合成的向量最为均值

　　　　　　　同理，均值有如下特征

　　　　　　　

　　　　　　　这里的A，B为矩阵，X为向量

　　　　　　　由均值得出方差

　　　　　　　D(X) = E(X-E(X))*(X - E(X))

　　　　　　　D(x) = E(XX') - E(X)*E(X')

　　　　　　　可以看到，协差阵是平方的期望，所以协差阵肯定是半正定的

　　　　　　　这个正好是当X=Y时的协差阵　

　　　　　　　

　　　　协差阵，相关系数阵，标准离差阵

　　　　　　当判断两个多元向量关系的时候，可先求出协差阵

　　　　　　协差阵的每个元素/这两个单独拿出来算的方差即可得到相关系数阵

　　　　　　

　　　　　　

正态分布:

　　密度函数：

　　

　　　　u:均值向量，∑协方差矩阵

　　　　由于协差阵半正定 当∑ = 0时特殊情况特殊考虑

　　　　n元正态分布的每一维都服从正态分布

　　　　

 

　　

　　　　　　

　　若X服从N(u , Σ) 

　　现在做变换 X‘ = AX + d

　　那么X’服从 N(Au + d,  AΣA')