多维随机变量及其分布

多维随机变量及联合分布

多维随机变量

如果 $X_1(\omega ),X_2(\omega )\cdots X_n(\omega )$ 是定义在同一个样本空间 $\Omega =(\omega )$ 上的n维随机变量,则称 $(X_1(\omega ),X_2(\omega )\cdots X_n(\omega ))$ 为n维随机变量.

对于不同样本空间${\Omega }_1,{\Omega }_2$上的随机变量，则在乘积空间${\Omega }_1\ast {\Omega }_2$={$({\omega }_1,{\omega }_2):{\omega }_1\in {\Omega }_1,{\omega }_2\in {\Omega }_2$}及其事件域讨论.

联合分布函数

定义

对任意的 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n,$ 则 $n$ 个事件{ $X_1\le x_1$ }$，${ $X_2\le x_2$ }$，$$\cdots ,${ $X_n\le x_n$ }同时发生的概率：
$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=P(X_1\le x_1,X_2\le x_2,X_n\le x_n)$$称为 $n$ 维随机变量 $(X_1(\omega ),X_2(\omega )\cdots X_n(\omega ))$ 的联合分布函数.

基本性质

1. 单调性

   $F(x,y)$ 分别对 $x$ 或 $y$ 是单调非减的.

2. 有界性

   对任意的$x$和$y$，有$0\le F(x,y)\le 1$且

   $$F(-\infty ,y)=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x,y)=0$$$$F(x,-\infty )=\underset{y\to -\infty }{\lim }F(x,y)=0$$$$F(\infty ,\infty )=\underset{x,y\to \infty }{\lim }F(x,y)=1$$

3. 右连续性

   $F(x,y)$ 对 $x$ 和 $y$ 都是右连续的，即
   $$F(x+0,y)=F(x,y)$$$$F(x,y+0)=F(x,y)$$

4. 非负性

   对任意的 $a<b$，$c<d$ 有
   $$P(a<X\le b,c<Y\le d)=F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c)\ge 0$$

联合分布列

定义

如果二维随机变量 $(X,Y)$ 只取有限个或可列个数对 $(x,y)$，则称 $(X,Y)$ 为二维离散随机变量，称
$$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)i,j=1,2,\cdots$$为 $(X,Y)$ 的联合分布列.

基本性质

1. 非负性： $p_{ij}\ge 0$
2. 正则性： $\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$

联合密度函数

定义

如果存在二元非负函数 $p(x,y)$，使得二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布函数 $F(x,y)$ 可表示为
$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}p(u,v)dvdu$$则称 $(X,Y)$ 为二维连续随机变量，称 $p(u,v)$ 为 $(X,Y)$ 的联合密度函数.且在 $F(x,y)$ 偏导数存在的点上有
$$p(x,y)=\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}F(x,y)$$

基本性质

1. 非负性： $p(x,y)\ge 0$
2. 正则性： ${\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dydx=1$

边际分布及随机变量的独立性

边际分布函数

如果在二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 中令 $y\to \infty$ ，由于 { Y < ∞ } {Y<infty} {Y<∞} 为必然事件，可得
$$\underset{y\to \infty }{\lim }F(x,y)=P(X\le x,Y<\infty )=P(X\le x)$$这是由 $(X,Y)$ 的联合分布函数 $F(x,y)$ 求得的 $X$ 的分布函数，被称为 $X$ 的边际分布，记作$F_X(x)=F(x,\infty )$

边际分布列

在二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列 { P ( X = x i , Y = y j ) } {P(X=x_i,Y=y_j)} {P(X=xi​,Y=yj​)} 中，对 $j$ 求和所得的分布列
$$\sum _{j=1}^{\infty }P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i),i=1,2,\cdots$$被称为 $X$ 的边际分布列.

边际密度函数

如果二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$，因为
$$F_X(x)=F(x,\infty )={\int }_{-\infty }^x({\int }_{-\infty }^{\infty }p(u,v)dv)du={\int }_{-\infty }^x{p}_X(u)du$$则，$X$ 的边际密度函数为
$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }p(x,y)dy$$

随机变量间的独立性

设 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,\cdots ,X_n)$ 的联合分布函数为 $F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，$F_i(x_i)$ 为 $X_i$ 的边际分布函数.如果对任意 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$，有
$$F(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\prod _{i=1}^n{F}_i(x_i)$$则称 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立.

条件分布及公式

条件分布

二维随机变量 $(X,Y)$ 的条件分布，就是给定 $Y$ 取某个值的条件下 $X$ 的分布.

离散随机变量的条件分布

设二维离散随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布列为
$$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j),i,j=1,2,\cdots .$$对一切使 $P(Y=y_j)=p_{.j}=\sum _{i=1}^{\infty }{p}_{ij}>0$ 的 $y_j$，称
$$p_{i|j}=P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{.j}}$$为给定 $Y=y_j$ 条件下 $X$ 的条件分布列.
$$F(x|y_j)=\sum _{x_i\le x}P(X=x_i|Y=y_j)=\sum _{x_i\le x}{p}_{i|j}$$为给定 $Y=y_j$ 条件下 $X$ 的条件分布函数.

连续随机变量的条件分布

设二维连续随机变量$(X,Y)$的联合密度函数为$p(x,y)$，边际密度函数为$p_X(x),p_Y(y).$
$$F(x|y)=P(X\le x|Y=y)={\int }_{-\infty }^x\frac{p(u,y)}{p_Y(y)}du$$
$$p(x|y)=\frac{p(x,y)}{p_Y(y)}$$

连续场合的全概率公式和贝叶斯公式

• 全概率公式
  $$p_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(x)p(y|x)dx$$$$p_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_Y(y)p(x|y)dx$$
• 贝叶斯公式
  $$p(x|y)=\frac{p_X(x)p(y|x)}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_X(x)p(y|x)dy}$$$$p(y|x)=\frac{p_Y(y)p(x|y)}{{\int }_{-\infty }^{\infty }{p}_Y(y)p(x|y)dy}$$

多维随机变量函数的分布

卷积公式

设 $X$ 和 $Y$ 是两个相互独立的随机变量，其和 $Z=X+Y$
$$离散:P(Z=k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)$$$$连续：p_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(z-y)p_Y(y)dy={\int }_{-\infty }^{+\infty }{p}_X(x)p_Y(z-x)dx$$

多维离散随机变量函数的分布

泊松分布的可加性

若随机变量 $X\sim P（{\lambda }_1）,Y\sim P({\lambda }_2)$ ，且 $X$ 和 $Y$ 独立，则 $Z=X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2).$

二项分布的可加性

若随机变量 $X\sim b（n,p）,Y\sim b(m,p)$ ，且 $X$ 和$Y$ 独立，则 $Z=X+Y\sim b(n+m,p).$

最大值与最小值的分布

最大值分布

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的 $n$ 个随机变量，若 Y = m a x { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } Y=max{ X_1,X_2,cdots,X_n} Y=max{X1​,X2​,⋯,Xn​}

1. 若 $X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   F Y ( y ) = P ( m a x { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } ≤ y ) F_Y(y)=P(max{X_1,X_2,cdots,X_n}le y) FY​(y)=P(max{X1​,X2​,⋯,Xn​}≤y)$$=P(X_1\le y,X_2\le y,\cdots ,X_n\le y)$$$$=P(X_1\le y)P(X_2\le y)\cdots P(X_n\le y)=\prod _{i=1}^n{F}_i(y).$$
2. 若诸 $X_i$同分布，即$X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   $$F_Y(y)=[F(y){]}^n.$$
3. 若诸 $X_i$ 为连续随机变量，且诸 $X_i$ 同分布，即$X_i$ 的密度函数均为 $p(x),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   $$F_Y(y)=[F(y){]}^n.$$$$p_Y(y)=F_Y^{{}^{\prime }}(y)=n[F(y){]}^{n-1}p(y).$$
4. 若 $X_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   $$F_Y(y)=\{\begin{array}{rcl}0& & y<0\\ (1-e^{-\lambda y}{)}^n& & y\ge 0\end{array}$$$$p_Y(y)=\{\begin{array}{rcl}0& & y<0\\ n(1-e^{-\lambda y}{)}^{n-1}\lambda e^{-\lambda y}& & y\ge 0\end{array}$$

最小值分布

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是相互独立的 $n$ 个随机变量，若 Y = m i n { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } Y=min{ X_1,X_2,cdots,X_n} Y=min{X1​,X2​,⋯,Xn​}

1. 若$X_i\sim F_i(x),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   F Y ( y ) = P ( m i n { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } ≤ y ) F_Y(y)=P(min{X_1,X_2,cdots,X_n}le y) FY​(y)=P(min{X1​,X2​,⋯,Xn​}≤y) = 1 − P ( m i n { X 1 , X 2 , ⋯   , X n } > y ) =1-P(min{X_1,X_2,cdots,X_n}>y) =1−P(min{X1​,X2​,⋯,Xn​}>y)$$=1-P(X_1>y,X_2>y,\cdots ,X_n>y)$$$$=1-P(X_1>y)P(X_2>y)\cdots P(X_n>y)=1-\prod _{i=1}^n(1-F_i(y)).$$
2. 若诸 $X_i$同分布，即$X_i\sim F(x),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   $$F_Y(y)=1-[1-F(y){]}^n.$$
3. 若诸 $X_i$ 为连续随机变量，且诸 $X_i$ 同分布，即$X_i$ 的密度函数均为 $p(x),i=1,2,\cdots ,n$ 则
   $$F_Y(y)=1-[1-F(y){]}^n.$$$$p_Y(y)=F_Y^{{}^{\prime }}(y)=n[1-F(y){]}^{n-1}p(y).$$
4. 若 $X_i\sim Exp(\lambda ),i=1,2,\cdots ,n$
   $$F_Y(y)=\{\begin{array}{rcl}0& & y<0\\ 1-e^{-n\lambda y}& & y\ge 0\end{array}$$$$p_Y(y)=\{\begin{array}{rcl}0& & y<0\\ n\lambda e^{-n\lambda y}& & y\ge 0\end{array}$$

多维连续随机变量函数的分布

正态分布的可加性

设随机变量 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $Z=X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$

伽马分布的可加性

设随机变量 $X\sim Ga({\alpha }_1,\lambda )$，$Y\sim Ga({\alpha }_2,\lambda )$，且 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $Z=X+Y\sim Ga({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$

变量变换法

1. 变量变换法

   设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度函数为 $p(x,y)$ ，如果函数
   $$\{\begin{array}{r}u=g_1(x,y)\\ v=g_2(x,y)\end{array}$$有连续偏导数，且存在唯一的反函数
   $$\{\begin{array}{r}x=x(u,v)\\ y=y(u,v)\end{array}$$其变换的雅可比行列式 $J=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$ 不为零，若
   $$\{\begin{array}{r}U=g_1(X,Y)\\ V=g_2(X,Y)\end{array}$$则$(U,V)$的联合密度函数为
   $$p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v))|J|.$$

2. 增补变量法

   为了求出二维连续随机变量 $(X,Y)$ 的函数 $U=g(X,Y)$ 的密度函数，增补一个新的随机变量 $V=h(X,Y)$ ，一般令 $V=X$ 或 $V=Y$ ，先用变换法求出 $(U,V)$ 的联合密度函数 $p(u,v)$ ，再对 $p(u,v)$ 关于 $v$ 积分，从而得出关于 $U$ 的边际密度函数.

最后

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