扩展欧几里德与乘法逆元

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我是靠谱客的博主和谐含羞草，最近开发中收集的这篇文章主要介绍扩展欧几里德与乘法逆元，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

扩展欧几里得：

扩展欧几里得是在欧几里得的基础上扩充而来：

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

对于不全为 0 的非负整数 a、b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

就是给两个整数 a,b 必然存在一对整数 x,y 使得 ax + by = gcd(a,b)，这个定理又叫贝祖定理。

证明：

假如 a > b，且 b = 0，那么很明显， ax + by = ax + 0 = gcd(0, a mod 0) = a，也就是 x = 1。扩展欧几里德算法是成立的。

若a≠0 && b≠0，那么

设a*x1+b*y1 = gcd(a,b);

那么 gcd(b,a mod b) = b*x2 + (a mod b) *y2;

因为gcd(a,b) = gcd(b,a mod b); 则 a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a mod b) * y2;

然后化简：a % b = a - (int)(a/b) * b；

a * x1 + b * y1 = b * x2 + (a - (int)(a/b) * b) * y2

   a * x1 + b * y1 = b * x2 + a * y2 - (int)(a/b) * b * y2

    合并同类项

   a * x1 + b * y1 = a * y2 + b ( x2 - (int)(a/b) * y2 )

得到结论： x1 = y2

y1 = x2 - (int)(a/b) * y2。

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b == 0){
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int temp = x;
	x = y;                     //x1=y2；
	y = temp - a/b*y;          //y1 = x2-a/b*y2;
	return ans;
}

乘法逆元：(在维基百科中也叫倒数，当然是 mod p后的)

a ≡1mod(f) ;

就相当于求 a*x+f*y=1 ， gcd(a,f) == 1时有解（a，f互素）。

例如：

4关于1模7的乘法逆元为多少？

4X≡1 mod 7

这个方程等价于求一个X和K，满足

4X=7K+1

其中X和K都是整数。

若ax≡1 mod f, 则称a关于模f的乘法逆元为x。也可表示为ax≡1(mod f)。

当a与f互素（1=gcd()）时，a关于模f的乘法逆元有解。（a*x+b*y=c, c=gcd(a,b)是方程有解的充要条件）如果不互素，则无解。如果f为素数，则从1到f-1的任意数都与f互素，即在1到f-1之间都恰好有一个关于模f的乘法逆元。

int cal(int a,int m){
    int x,y;
    int gcd = ex_gcd(a,m,x,y);
    if( (1%gcd)!=0 ) return -1;
    x*=1/gcd;
    int ans = x%abs(m);
    if(ans<=0) ans+=m;
    return ans;
}

做题时如果结果过大一般都会让你模一个数，确保结果不是很大，而这个数一般是1e9+7，而且这个数又是个素数，加减乘与模运算的顺序交换不会影响结果，但是除法不行。有的题目要求结果mod一个大质数，如果原本的结果中有除法，比如除以a,那就可以乘以a的逆元替代。（除一个数等于乘它的倒数，虽然这里的逆元不完全是倒数，但可以这么理解，毕竟乘法逆元就是倒数的扩展）。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y)
{
    if(!b) { d = a; x = 1; y = 0; }
    else{ exgcd(b, a%b, d, y, x); y -= x*(a/b); }
}

ll inv(ll a, ll p)
{
    ll d, x, y;
    exgcd(a, p, d, x, y);
    return d == 1 ? (x+p)%p : -1;
}

int main()
{
    ll a,p;
    while(1)
    {
        scanf("%lld %lld",&a,&p);
        printf("%lldn",inv(a,p));
    }
}

逆元线性筛：

const int mod = 1000000009;
const int maxn = 10005;
int inv[maxn];
inv[1] = 1;
for(int i = 2; i < 10000; i++)
    inv[i] = inv[mod % i] * (mod - mod / i) % mod;

阶乘的逆元：


inv[maxn]=mod_pow(fac[maxn],mod-2);
for(ll i=maxn-1;i>=0;i--)
    inv[i]=(inv[i+1]*(i+1))%mod;

3.费马小定理。

假如a是一个整数，p是一个质数，那么 a的p次方-a 是p的倍数，可以表示为

如果a不是p的倍数，这个定理也可以写成

由费马小定理 ap-1≡1 , 变形得 a*ap-2≡1(mod p)，:若a,p互质,因为a*ap-2≡1(mod p)且a*x≡1(mod p),则x=ap-2(mod p),用快速幂可快速求之。