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上一节介绍了Policy-Based强化学习方法的优势，并介绍了影响目标函数梯度$\nabla \mathcal{J}(\theta )$的核心要素——状态分布。本节将使用状态分布对策略梯度定理进行表示。

回顾：目标函数与状态分布

上一节介绍到：

• 通常将目标函数$\mathcal{J}(\theta )$定义为 情节中初始状态回报的期望，即初始状态的状态价值函数：
  $$\mathcal{J}(\theta )={\mathbb{E}}_{\pi (a\mid s;\theta )}[G_0\mid S=s_0]\triangleq V_{\pi (a\mid s;\theta )}(s_0)$$

• 情节中策略函数$\pi (a\mid s;\theta )$的变化会影响状态分布的变化，而状态分布的变化直接影响目标函数$\mathcal{J}(\theta )$的变化。

  关于状态$s$出现的平均次数表示如下：
  η ( s ) = h ( s ) + ∑ s ˉ η ( s ˉ ) ∑ a π ( a ∣ s ˉ ) P ( s ∣ s ˉ , a ) = ∑ k = 0 T − 1 P r { s 0 → s , k , π } begin{aligned} eta(s) & = h(s) + sum_{bar s}eta(bar s)sum_{a}pi(a mid bar s)P(s mid bar s,a) \ & = sum_{k=0}^{T-1}P_r{s_0 to s,k,pi} end{aligned} η(s)​=h(s)+sˉ∑​η(sˉ)a∑​π(a∣sˉ)P(s∣sˉ,a)=k=0∑T−1​Pr​{s0​→s,k,π}​
  其中， P r { s 0 → s , k , π } P_r{s_0 to s,k,pi} Pr​{s0​→s,k,π}表示初始状态$s_0$,在策略函数$\pi$的条件下，经过$k$次状态转移，最终达到状态$s$的概率。即 存在 P r { s 0 → s , k , π } P_r{s_0 to s,k,pi} Pr​{s0​→s,k,π}的概率，初始状态$s_0$经过$k$次状态转移后的状态必然是状态$s$(必出现一次状态$s$)。
  因而，状态$s$在情节中出现的平均次数$\eta (s)$即 从初始时刻$t=0$开始，到情节结束的前一个时刻$T-1$之间所有时刻“出现一次状态$s$”的平均次数之和。

• 状态$s$的出现概率表示如下：
  $$\mu (s)=\frac{\eta (s)}{{\sum }_{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })}$$

策略梯度定理

策略梯度定理本质就是求解 目标函数的梯度$\nabla \mathcal{J}(\theta )$，$\nabla \mathcal{J}(\theta )$自身是一个向量，它包含两个要素：

• 梯度数值；
• 梯度方向；

相比于梯度数值，我们更关心的是梯度方向——梯度方向会 引导目标函数$\mathcal{J}(\theta )$向最优方向收敛，而梯度数值在迭代过程中会与学习率$\alpha$相乘，它只参与决定$\mathcal{J}(\theta )$收敛的 步长(step)。
在后续推导过程中会用到该思想。

策略梯度定理求解过程

根据目标函数的描述，将$\nabla \mathcal{J}(\theta )$表示如下：
为了使推导过程更具有‘普遍性’ -> 将s_0用s表达;
$$\nabla \mathcal{J}(\theta )=\nabla V_{\pi }(s)$$
将$V_{\pi }(s)$使用贝尔曼期望方程进行展开：
$$\nabla V_{\pi }(s)=\nabla \sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)$$
将连加符号${\sum }_{a\in \mathcal{A}(s)}$与梯度符号交换位置——即对连加操作中的每一项求解梯度，并对$\pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)$求解梯度；
可以看成‘乘法求导’。
$$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)+\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\nabla q_{\pi }(s,a)$$

此时观察第二项${\sum }_{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\nabla q_{\pi }(s,a)$。$q_{\pi }(s,a)$可以继续展开，即状态$s$条件下选择并执行动作$a$，经过状态转移得到下一时刻状态$s^{\prime }$。
$$\begin{array}{rl}\nabla q_{\pi }(s,a)& =\nabla \sum _{s^{\prime },r}P(s^{\prime },r\mid s,a)[r+\gamma V_{\pi }(s^{\prime })]\\ & =\nabla \sum _{s^{\prime },r}P(s^{\prime },r\mid s,a)\cdot r+\nabla \sum _{s^{\prime },r}\gamma P(s^{\prime },r\mid s,a)V_{\pi }(s^{\prime })\end{array}$$
我们要对$\theta$求解梯度，只有策略函数$\pi (a\mid s;\theta )$和包含策略函数的$V_{\pi },q_{\pi }$中含有$\theta$。因此：动态特性函数$P(s^{\prime },r\mid s,a)$,衰减系数$\gamma$均视作常数。
对$\nabla q_{\pi }(s,a)$整理结果如下：
$$\nabla q_{\pi }(s,a)=\gamma \sum _{s^{\prime },r}P(s^{\prime },r\mid s,a)\nabla V_{\pi }(s^{\prime })$$
该结果可以继续简化——对$r$求解边缘概率分布：此时有：
$$\sum _{r}P(r\mid s,a)=1$$
因此$\nabla q_{\pi }(s,a)$可以继续化简如下：
$$\begin{array}{rl}\nabla q_{\pi }(s,a)& =\gamma \sum _{r}P(r\mid s,a)\times \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\nabla V_{\pi }(s^{\prime })\\ & =\gamma \times 1\times \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\nabla V_{\pi }(s^{\prime })\\ & =\gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\nabla V_{\pi }(s^{\prime })\end{array}$$
$\nabla q_{\pi }(s,a)$至此无法继续向下化简，对$\nabla V_{\pi }(s)$进行整理：
$$\begin{array}{rl}\nabla V_{\pi }(s)& =\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)+\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\nabla q_{\pi }(s,a)\\ & =\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)+\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\times \gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\nabla V_{\pi }(s^{\prime })\end{array}$$

我们发现，上述式子是 关于$\nabla V_{\pi }(s)$和$\nabla V_{\pi }(s^{\prime })$的迭代式子，即 找到了$\nabla V_{\pi }(s)$与$\nabla V_{\pi }(s^{\prime })$的关联关系，为了确定这组关联关系，我们继续对$\nabla V_{\pi }(s^{\prime })$向下展开：
设置场景：状态$s^{\prime }$条件下，通过策略函数$\pi (a^{\prime }\mid s^{\prime };\theta )$选择动作$a^{\prime }$,经过 状态转移 得到$s^{\prime }$的下一时刻状态$s^{\prime \prime }$。
s'状态价值函数求解梯度同s
$$\nabla V_{\pi }(s^{\prime })=\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\nabla \pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })+\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })\times \gamma \sum _{s^{\prime \prime }}P(s^{\prime \prime }\mid s^{\prime },a^{\prime })\nabla V_{\pi }(s^{\prime \prime })$$
将$\nabla V_{\pi }(s^{\prime })$带回$\nabla V_{\pi }(s)$，则有：
$$\nabla V_{\pi }(s)=\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)+\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\times \gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\left\{\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\nabla \pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })+\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })\times \gamma \sum _{s^{\prime \prime }}P(s^{\prime \prime }\mid s^{\prime },a^{\prime })\nabla V_{\pi }(s^{\prime \prime })\right\}$$

现在已经将状态$s$状态转移了两次：$s\to s^{\prime }\to s^{\prime \prime }$，根据上面的展开结果，尝试寻找求解$\nabla V_{\pi }(s)$的规律：
将上述公式完全展开，并归纳成若干项的加和 形式：
大家可以自行尝试展开，最终得到下面结果的加和形式即可

• 第一项：
  $$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)$$
• 第二项：
  $$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\times \gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\nabla \pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })$$
• 第三项：
  $$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\times \gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })\times \gamma \sum _{s^{\prime \prime }}P(s^{\prime \prime }\mid s^{\prime },a^{\prime })\nabla V_{\pi }(s^{\prime \prime })$$

首先，先观察第二项：
$$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\times \gamma \sum _{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)\sum _{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}\nabla \pi (a^{\prime }\mid s^{\prime })q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })$$
观察前半部分：${\sum }_{a\in \mathcal{A}(s)}\pi (a\mid s)\times \gamma {\sum }_{s^{\prime }}P(s^{\prime }\mid s,a)$，前半部分主要描述的是 状态$s$转移至$s^{\prime }$的转移概率。现在可能观察的不够明朗，我们将前半部分进行如下变换：

• 将${\sum }_{s^{\prime }}$提到前面：
  $$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\sum _{s^{\prime }}\gamma \times \pi (a\mid s)P(s^{\prime }\mid s,a)$$

• 其中，$\pi (a\mid s)$可看作 $s$状态下动作$a$发生的条件概率；$P(s^{\prime }\mid s,a)$可看作 $s$状态下执行动作$a$进行状态转移，转移状态为$s^{\prime }$的条件概率。

  根据动态规划求解强化学习任务——策略评估[解析解]提到的条件概率密度积分：
  $$\sum _{a\in \mathcal{A}}p(c\mid a,\mathcal{B})p(a\mid \mathcal{B})=\sum _{a\in \mathcal{A}}p(c,a\mid \mathcal{B})=p(c\mid \mathcal{B})$$
  将条件概率$\pi (a\mid s)$和条件概率$P(s^{\prime }\mid s,a)$ 乘积结果的概率符号设为$\mathcal{P}$， 可以将上述式子化简成：
  $$\begin{array}{r}\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\sum _{s^{\prime }}\gamma \times \pi (a\mid s)P(s^{\prime }\mid s,a)=\sum _{s^{\prime }}\gamma \times \mathcal{P}(s^{\prime }\mid s)\end{array}$$

• 根据上式，可以将$\mathcal{P}(s^{\prime }\mid s)$看作成 状态$s$通过1次状态转移得到新状态$s^{\prime }$的概率。这和我们对状态分布中 P r { s 0 → s , k , π } P_r{s_0 to s,k,pi} Pr​{s0​→s,k,π}的定义十分相似，我们可以改成：
  P ( s ′ ∣ s ) = P r { s → s ′ , 1 , π } mathcal P(s' mid s) = P_r{s to s',1,pi} P(s′∣s)=Pr​{s→s′,1,π}

因此，前半部分可以转化成：
∑ a ∈ A ( s ) π ( a ∣ s ) × γ ∑ s ′ P ( s ′ ∣ s , a ) = ∑ s ′ γ × P r { s → s ′ , 1 , π } sum_{a in mathcal A(s)} pi(a mid s) times gamma sum_{s'} P(s' mid s,a) = sum_{s'} gamma times P_r{s to s',1,pi} a∈A(s)∑​π(a∣s)×γs′∑​P(s′∣s,a)=s′∑​γ×Pr​{s→s′,1,π}

至此，改进后第二项表达如下：
∑ s ′ γ × P r { s → s ′ , 1 , π } ∑ a ′ ∈ A ( s ′ ) ∇ π ( a ′ ∣ s ′ ) q π ( s ′ , a ′ ) sum_{s'} gamma times P_r{s to s',1,pi}sum_{a' in mathcal A(s')} nabla pi(a' mid s')q_pi(s',a') s′∑​γ×Pr​{s→s′,1,π}a′∈A(s′)∑​∇π(a′∣s′)qπ​(s′,a′)

继续观察这个改进后的第二项，虽然现在不清楚它表示的具体意义是什么——但是该式子中包含2个变量和1个常数量：

• 变量 $\to s,s^{\prime }$；($a^{\prime }$只能看成一个中间过程量，因为它最终是要被${\sum }_{a^{\prime }\in \mathcal{A}(s^{\prime })}$积分掉的量)
• 常数量 $\to$ 转移次数：1

我们可以将其理解为：状态$s$经过 1次状态转移 得到状态$s^{\prime }$的量的描述。
可以将其做成一个 通向式，其表述含义为：状态$s$经过$k$次状态转移得到状态$x$的量的描述。并且$x\in$转移后的状态集合$\mathcal{S}$。对应式子表示如下：
∑ x ∈ S γ × P r { s → x , k , π } ∑ a ∈ A ( x ) ∇ π ( a ∣ x ) q π ( x , a ) sum_{x in mathcal S} gamma times P_r{s to x,k,pi} sum_{a in mathcal A(x)} nabla pi(a mid x)q_pi(x,a) x∈S∑​γ×Pr​{s→x,k,π}a∈A(x)∑​∇π(a∣x)qπ​(x,a)

重点：此时第二项的通式已经得到了，观察第一项是否满足该通式？
必然是满足的。
观察第一项式子：
$$\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)$$
我们可以将其理解成：状态$s$经过 0次状态转移 得到状态$s$自身的量的描述。
表述如下：

• 状态$s$状态转移0次 $\to$ 即没有进行状态转移，其结果是状态$s$自身的概率 必然是1；
• 由于没有状态转移，转移后的状态集合$\mathcal{S}$的选择只有$s$一个。即：
  ∑ x ∈ S P r { s → x , k , π } = P r { s → s , 0 , π } ∣ x = s = 1 sum_{x in mathcal S}P_r{s to x,k,pi} = P_r{s to s,0,pi}mid_{x=s} = 1 x∈S∑​Pr​{s→x,k,π}=Pr​{s→s,0,π}∣x=s​=1
• 由于没有状态转移，自然没有奖励结果衰减，因此，衰减系数$\gamma =1$；

因此，第一项经过整理表示如下：
∑ x ∈ S γ × P r { s → x , k , π } ∑ a ∈ A ( x ) ∇ π ( a ∣ x ) q π ( x , a ) = 1 × P r { s → s , 0 , π } ∣ x = s ∑ a ∈ A ( x ) ∇ π ( a ∣ x ) q π ( x , a ) = 1 × 1 × ∑ a ∈ A ( x ) ∇ π ( a ∣ x ) q π ( x , a ) = ∑ a ∈ A ( x ) ∇ π ( a ∣ x ) q π ( x , a ) begin{split} & sum_{x in mathcal S} gamma times P_r{s to x,k,pi} sum_{a in mathcal A(x)} nabla pi(a mid x)q_pi(x,a) \ & = 1 times P_r{s to s,0,pi} mid_{x =s}sum_{a in mathcal A(x)} nabla pi(a mid x)q_pi(x,a) \ & = 1 times 1 times sum_{a in mathcal A(x)} nabla pi(a mid x)q_pi(x,a) \ & = sum_{a in mathcal A(x)} nabla pi(a mid x)q_pi(x,a) end{split} ​x∈S∑​γ×Pr​{s→x,k,π}a∈A(x)∑​∇π(a∣x)qπ​(x,a)=1×Pr​{s→s,0,π}∣x=s​a∈A(x)∑​∇π(a∣x)qπ​(x,a)=1×1×a∈A(x)∑​∇π(a∣x)qπ​(x,a)=a∈A(x)∑​∇π(a∣x)qπ​(x,a)​

至此，第一项和第二项全部满足上述通式。第三项通过观察，发现它仍然是一个迭代式，因为第三项中包含$\nabla V_{\pi }(s^{\prime \prime })$,该项仍然可以继续展开，并一直展开下去。
示例：如果展开$N$次，前$N-1$项均能表述为上述通式结果。

至此，$\nabla V_{\pi }(s)$表示如下：
注意:这里的‘无穷’符号并非表示迭代公式能够无限展开，即到情节结束时，后续展开项的结果均为0;
∇ V π ( s ) = ∑ x ∈ S ∑ k = 0 ∞ γ k × P r { s → x , k , π } ∑ a ∈ A ( x ) ∇ π ( a ∣ x ) q π ( x , a ) nabla V_pi(s) = sum_{x in mathcal S} sum_{k=0}^infty gamma^k times P_r{s to x,k,pi} sum_{a in mathcal A(x)} nabla pi(a mid x)q_pi(x,a) ∇Vπ​(s)=x∈S∑​k=0∑∞​γk×Pr​{s→x,k,π}a∈A(x)∑​∇π(a∣x)qπ​(x,a)

现在，将公式中所有的$s$替换回初始状态$s_0$，将公式中所有的$x$替换回$s\to$ 最终还是要求解初始状态价值函数的梯度——定义就是这么定义的。

∇ V π ( s 0 ) = ∑ s ∈ S ∑ k = 0 ∞ γ k × P r { s 0 → s , k , π } ∑ a ∈ A ( s ) ∇ π ( a ∣ s ) q π ( s , a ) nabla V_pi(s_0) = sum_{s in mathcal S} sum_{k=0}^infty gamma^k times P_r{s_0 to s,k,pi} sum_{a in mathcal A(s)} nabla pi(a mid s)q_pi(s,a) ∇Vπ​(s0​)=s∈S∑​k=0∑∞​γk×Pr​{s0​→s,k,π}a∈A(s)∑​∇π(a∣s)qπ​(s,a)

将状态分布 η ( s ) = ∑ k = 0 T − 1 P r { s 0 → s , k , π } eta(s) = sum_{k=0}^{T-1}P_r{s_0 to s,k,pi} η(s)=∑k=0T−1​Pr​{s0​→s,k,π}带回上式：
∇ V π ( s 0 ) = ∑ s ∈ S ∑ k = 0 ∞ γ k × P r { s 0 → s , k , π } ∑ a ∈ A ( s ) ∇ π ( a ∣ s ) q π ( s , a ) = ∑ s ∈ S γ k × η ( s ) ∑ a ∈ A ( s ) ∇ π ( a ∣ s ) q π ( s , a ) begin{aligned} nabla V_pi(s_0) & = sum_{s in mathcal S} sum_{k=0}^infty gamma^k times P_r{s_0 to s,k,pi} sum_{a in mathcal A(s)} nabla pi(a mid s)q_pi(s,a) \ & = sum_{s in mathcal S} gamma^k times eta(s) sum_{a in mathcal A(s)} nabla pi(a mid s)q_pi(s,a) end{aligned} ∇Vπ​(s0​)​=s∈S∑​k=0∑∞​γk×Pr​{s0​→s,k,π}a∈A(s)∑​∇π(a∣s)qπ​(s,a)=s∈S∑​γk×η(s)a∈A(s)∑​∇π(a∣s)qπ​(s,a)​
将$s$的出现概率$\mu (s)$引入到公式中：
$\to$ 乘以一个${\sum }_{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })\times \frac{1}{{\sum }_{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })}$：
$$\begin{array}{rl}\nabla \mathcal{J}(\theta )& =\nabla V_{\pi }(s_0)\\ & =\sum _{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })\sum _{s\in \mathcal{S}}{\gamma }^k\times \frac{\eta (s)}{{\sum }_{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })}\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)\\ & =\sum _{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })\sum _{s\in \mathcal{S}}{\gamma }^k\times \mu (s)\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)\end{array}$$

${\sum }_{s^{\prime }}\eta (s^{\prime })$是归一化因子，是常数，它只是影响梯度的具体数值，根据本节开头介绍，我们更加关注梯度方向，因此：
$\gamma$在这里被$\propto$(正比于符号)包含在内;
$$\nabla \mathcal{J}(\theta )\propto \sum _{s\in \mathcal{S}}\mu (s)\sum _{a\in \mathcal{A}(s)}\nabla \pi (a\mid s)q_{\pi }(s,a)$$

至此，完成了求解目标函数梯度$\nabla \mathcal{J}(\theta )$的全部推倒过程。下一节将介绍蒙特卡洛策略梯度方法(REINFORCE)。

相关参考：
【强化学习】策略梯度方法-策略梯度定理
深度强化学习原理、算法pytorch实战 —— 刘全，黄志刚编著

最后

以上就是能干羊为你收集整理的策略梯度方法介绍——策略梯度定理推导过程目录的全部内容，希望文章能够帮你解决策略梯度方法介绍——策略梯度定理推导过程目录所遇到的程序开发问题。

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