伪随机码

LFSR

在数字通信中，一般使用伪随机序列（Pseudo-Noise，PN）作为训练序列。PN 序列的特点是，尽管其序列产生器有确定的构造方法，但 PN 序列本身具有很多类似随机序列的性质。

最常见的二进制 PN 序列是最大长度线性反馈移位寄存器（Linear-Feedback Shift Register，LFSR）序列，简称 m 序列，它是由一个线性反馈的 $n$ 级移位寄存器生成的。所谓线性反馈，是指反馈函数中仅包含模 2 加运算而不含非线性运算。

上图中该 LFSR 对应的生成多项式为：$$1+x^3+x^4$$

PN 序列的主要用途是改变信号的特性，用于加密或者扩频，广泛应用于数字通信中。

判断一个序列是否是PN序列，也就是伪随机序列的判据很明确：

• { 0 、 1 } {0、1} {0、1} 的个数接近相等
• 连续 0 或 1 的子序列比例确定
• 自相关函数类似白噪声

m-序列

m 序列是有 $n$ 级线性移位寄存器产生的周期为 $2^n-1$ 的码序列，是最长线性移位寄存器序列的简称。码分多址系统主要采用两种长度的 m 序列：一种是周期为 $2^{15}-1$ 的 m 序列，又称短 PN 序列；另一种是周期为 $2^{42}-1$ 的 m 序列，又称为长 PN 码序列。m 序列主要有两个功能：

• 扩展调制信号的带宽到更大的传输带宽，即所谓的扩展频谱。
• 区分通过多址接入方式使用同一传输频带的不同用户的信号。

原理

如下图所示是由 $n$ 级移位寄存器构成的码序列发生器。寄存器的状态取决于时钟控制下输入的信息（0 或 1），例如第 $i$ 级移位寄存器状态决定于前一时钟脉冲后的第 $i－1$ 级移位寄存器的状态。图中 $C_0,C_1,\cdots ,C_n$ 均为反馈线，其中 $C_0＝C_n＝1$ 表示反馈连接。因为 m 序列是由循环序列发生器产生的，因此 $C_0$ 和 $C_n$ 肯定为 1，即参与反馈。而反馈系数 $C_1,C_2,\cdots ,C_{n－1}$ 若为 1，参与反馈；若为 0，则表示无反馈连线。

假设每一级反馈从左到右输出依次为 $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_1,a_0$，输出端为 $a_0$，则总的模二加的结果是$a_n$：
$$a_n=C_1{a}_{n-1}\oplus C_2{a}_{n-2}v\cdots \oplus C_n{a}_0$$
将 $C_0{a}_n$ 移到右边为
$$F=C_0{a}_n\oplus C_1{a}_{n-1}\oplus C_2{a}_{n-2}v\cdots \oplus C_n{a}_0=\sum _{i=0}^n\oplus C_i{a}_{n-i}=0$$
换成代数式
$$f(x)=\sum _{i=0}^n{C}_i{x}^i$$

一个线性反馈移动寄存器能否产生 m 序列，决定于它的反馈系数。例如一个 LFSR 对应的生成多项式为：$$1+x^3+x^4$$
这个代数式就表示 $C_0=C_3=C_4=1$。

每一次移位都会使移位寄存器切换到下一个状态，4 位移位寄存器总共可以有 $2^4=16$ 种状态，除去 $0000$ 状态之外，该 LFSR 可以在剩下的 15 个状态中循环切换。

如果我们令 LFSR 的状态从0001开始，每一次移位都将 $x^4$ 输出，则可以生成的随机码序列为：

$$1-0-0-0-1-0-0-1-1-0-1-0-1-1-1\dots \dots$$

完成15个 bit 输出后，循环重复。

那么为什么选用第 3 位相加反馈？如果是选用第 2 位会怎么样？同样以 0001 开始，LFSR 的状态切换过程为：

可以看到，只遍历了 6 个状态就回到了初始状态，生成的随机序列为 $$1-0-0-0-1-0\dots \dots$$

只有 6 个随机码，然后开始循环重复，随机性显然不如之前的多项式。前面的生成多项式 $1+x^3+x^4$ 称为 MLS（Maximum Length Sequence），常用的 PRBS 都是 MLS。

仿真

The PN-sequences are generated from a 5-stage linear feedback shift registers (LFSR), where the feedbacks from the registers are taken in such a way that it results in maximum length sequences (e.g. by taking the feedbacks from second and fifth stages).

解答：$f(x)=1+x^2+x^5$

5 级 LFSR 为 $[C_0,C_1,C_2,C_3,C_4,C_5]=[101001]$

%***************************************************
% 此函数用来生成m序列
% coef为反馈系数向量
%***************************************************
coef = [0 1 0 0 1]; %[c0=1]不写 c1 c2 c3 c4 c5

m=length(coef);
len=2^m-1; % 得到最终生成的m序列的长度     
backQ=0; % 对应寄存器运算后的值，放在第一个寄存器
seq=zeros(1,len); % 给生成的m序列预分配
registers = [zeros(1, m-1) 1]; % 给寄存器分配初始结果

code = [];

for i=1:len
    %disp(i);
    code = [code registers(m)];
    %disp(registers);
    seq(i)=registers(m);
    backQ = mod(sum(coef.*registers), 2); %特定寄存器的值进行异或运算，即相加后模2
    registers(2:length(registers)) = registers(1:length(registers)-1); % 移位
    registers(1)=backQ; % 把异或的值放在第一个寄存器的位置
end

disp(code);

相关系数

在扩频系统中，我们比较关心伪随机码的相关特性，下面就介绍这些特性：
设有两条长为 $n$ 的序列 { a } {a} {a} 和 { b } {b} {b}，序列中的元素分别为 $a_i,b_i$。

通过自相关函数考量伪随机码的自相关特性，自相关函数的定义：
$$R(j)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_j{a}_{i+j}$$
自相关系数为
$$\rho (j)=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{a}_j{a}_{i+j}$$

以 $n=4$ 为例，则有

x = -1*len:1:len;

for i = 1:2*len+1
    j = x(i);
    % 循环移位
    code_j = circshift(code', j)';
    R(i) = sum(code.*code_j)/len;
end

可知
$$\rho (j)=\{\begin{array}{rlr}1& ,& j=0,\\ -\frac{1}{n}& ,& j\ne 0.\end{array}$$

最后

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