最长递增子序列（LIS）

题：求一个一维数组arr[i]中的最长递增子序列的长度，如在序列1，-1，2，-3，4，-5，6，-7中，最长递增子序列长度为4，可以是1，2，4，6，也可以是-1，2，4，6。

方法一：DP

像LCS一样，从后向前分析，很容易想到，第i个元素之前的最长递增子序列的长度要么是1（单独成一个序列），要么就是第i-1个元素之前的最长递增子序列加1，可以有状态方程：

LIS[i] = max{1,LIS[k]+1}，其中，对于任意的k<=i-1，并且arr[i] > arr[k]，这样arr[i]才能在arr[k]的基础上构成一个新的递增子序列。

代码如下：在计算好LIS长度之后，output函数递归输出其中的一个最长递增子序列。

#include <iostream>
using namespace std;
/* 最长递增子序列 LIS
* 设数组长度不超过 30
* DP
*/
int dp[31]; /* dp[i]记录到[0,i]数组的LIS */
int lis;
/* LIS 长度 */
int LIS(int * arr, int size)
{
for(int i = 0; i < size; ++i)
{
dp[i] = 1;
for(int j = 0; j < i; ++j)
{
if(arr[i] > arr[j] && dp[i] < dp[j] + 1)
{
dp[i] = dp[j] + 1;
if(dp[i] > lis)
{
lis = dp[i];
}
}
}
}
return lis;
}
/* 输出LIS */
为了正序输出LIS序列采用了小技巧
void outputLIS(int * arr, int index)
{
bool isLIS = 0;
if(index < 0 || lis == 0)
{
return;
}
if(dp[index] == lis)
{
--lis;
isLIS = 1;
}
outputLIS(arr,--index);
if(isLIS)
{
printf("%d ",arr[index+1]);
}
}
void main()
{
int arr[] = {1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
/* 输出LIS长度； sizeof 计算数组长度 */
printf("%dn",LIS(arr,sizeof(arr)/sizeof(int)));
/* 输出LIS */
outputLIS(arr,sizeof(arr)/sizeof(int) - 1);
printf("n");
}

方法二：排序+LCS

这个方法是在Felix’blog（见参考资料）中看到的，因为简单，他在博文中只是提了一句，不过为了练手，虽然懒，还是硬着头皮写一遍吧，正好再写一遍快排，用quicksort + LCS，这个思路还是很巧妙的，因为LIS是单调递增的性质，所以任意一个LIS一定跟排序后的序列有LCS，并且就是LIS本身。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
/* 最长递增子序列 LIS
* 设数组长度不超过 30
* quicksort + LCS
*/
void swap(int * arr, int i, int j)
{
int tmp = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = tmp;
}
void qsort(int * arr, int left, int right)
{
if(left >= right)
return ;
int index = left;
for(int i = left+1; i <= right; ++i)
{
if(arr[i] < arr[left])
{
swap(arr,++index,i);
}
}
swap(arr,index,left);
qsort(arr,left,index-1);
qsort(arr,index+1,right);
}
int dp[31][31];
int LCS(int * arr, int * arrcopy, int len)
{
for(int i = 1; i <= len; ++i)
{
for(int j = 1; j <= len; ++j)
{
if(arr[i-1] == arrcopy[j-1])
{
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
}else if(dp[i-1][j] > dp[i][j-1])
{
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}else
{
dp[i][j] = dp[i][j-1];
}
}
}
return dp[len][len];
}
void main()
{
int arr[] = {1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
int arrcopy [sizeof(arr)/sizeof(int)];
memcpy(arrcopy,arr,sizeof(arr));
qsort(arrcopy,0,sizeof(arr)/sizeof(int)-1);
/* 计算LCS，即LIS长度 */
int len = sizeof(arr)/sizeof(int);
printf("%dn",LCS(arr,arrcopy,len));
}

方法三：DP+二分查找 （最快的方法  O（nlogn））

下面说说原理：

目的：我们期望在前i个元素中的所有长度为len的递增子序列中找到这样一个序列，它的最大元素比arr[i+1]小，而且长度要尽量的长，如此，我们只需记录len长度的递增子序列中最大元素的最小值就能使得将来的递增子序列尽量地长。

方法：维护一个数组B[i]，记录长度为i的递增子序列中最大元素的最小值，并对于数组中的每个元素考察其是哪个子序列的最大元素，二分更新B数组，最终i的值便是最长递增子序列的长度。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS（B数组中的可不是最后的LIS哦），它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾，我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了：在B中插入数据是有序的，而且是进行替换而不需要挪动——也就是说，我们可以使用二分查找，将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)～！

#include <iostream>
using namespace std;
/* 最长递增子序列 LIS
* 设数组长度不超过 30
* DP + BinarySearch
*/
int MaxV[30]; /* 存储长度i+1（len）的子序列最大元素的最小值 */
int len;
/* 存储子序列的最大长度 即MaxV当前的下标*/
/* 返回MaxV[i]中不小于x 的那个元素的下标
*/
int BinSearch(int * MaxV, int size, int x)
{
int left = 0, right = size-1;
while(left <= right)
{
int mid = (left + right) / 2;
if(MaxV[mid] < x)
{
left = mid + 1;
}else
{
right = mid - 1;
}
}
return left;
}
int LIS(int * arr, int size)
{
MaxV[0] = arr[0]; /* 初始化 */
len = 1;
for(int i = 1; i < size; ++i) /* 寻找arr[i]属于哪个长度LIS的最大元素 */
{
if(arr[i] > MaxV[len-1]) /* 大于最大的自然无需查找，否则二分查其位置 */
{
MaxV[len++] = arr[i];
}else
{
int pos = BinSearch(MaxV,len,arr[i]);
MaxV[pos] = arr[i];
}
}
return len;
}
void main()
{
int arr[] = {1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
/* 计算LIS长度 */
printf("%dn",LIS(arr,sizeof(arr)/sizeof(int)));
}