simulink降维观测器设计_14. SISO反馈控制器设计 (5)：积分控制 Integral Control

这篇简单介绍一下LTI系统的积分控制(integral control)。我们在PID控制中已经讲过积分控制的主要作用。引入积分控制的目的就是为了消除系统的稳态误差，尤其是当扰动或者系统实际参数发生变动时，即鲁棒性(或者稳健性，robustness)。当然积分控制有其弊端，在实践中需要通过分析决定是否采用积分控制。

我继续顺着[1]的7.10节讲解这部分，同时也将参考其他资料。

本篇目录：

1. 积分控制 Integral control

2. 设计实例 Example of integral control

3. 积分饱和 Integral windup and Anti-windup Control

现在假设有一个LTI系统的state-space representation:

其中

其中

让我们考虑追踪误差

让我们把(1)(3)结合起来构成一个新系统：

用矩阵表示：

那么只要设计一个反馈控制律：

使得系统稳定即可。 最终系统示意图如下：

这个闭环系统的特征值满足下面定理，其证明见[2. Theorem 8.5]：

如果(A,B)是controllable的，并且开环系统的传递函数不存在

的零点，那么(6)可以对(5)的系统矩阵进行任意的pole-placement。(complex eigenvalues仍然满足conjugate条件)

提一点直观的理解，如果plant的开环传递函数存在

2. 设计实例 Example of integral control

我们来考虑[1]中的一个控制设计问题，然后看看如何设计一个控制器，并且加入积分控制来使得系统具有disturbance rejection和robustness。

问：考虑一个开环系统的传递函数为：

现在设计积分控制，使得整个闭环系统(二阶)的两个特征值都在

解：我们确定plant开环系统的state-space representation：

s=tf('s');
G=1/(s+3);
>>sys=ss(G)
sys =
A =
x1
x1
-3
B =
u1
x1
1
C =
x1
y1
1
D =
u1
y1
0
Continuous-time state-space model.

根据(5)，我们得到加入积分控制后的整体开环系统的state-space representation：

现在我们用acker命令计算得到feedback增益(因为place不能place重根)：

>> Abar=[-3 0;1 0];
%整体系统的矩阵
>> Bbar=[1;0];
>> K=acker(Abar,Bbar,[-5 -5])
K =
7
25

设计 full-state estimator，把观测器的极点设置在

>> L=acker(sys.A',sys.C',-10)'
L =
7

我在simulink里面搭了一下：

加入了step input作为扰动

这表明无论是step input，或者是常值扰动，积分控制都能有效地抑制其影响，使得系统具有一定程度的robustness和disturbance rejection的能力。但是对于其他类型的扰动，其效果就未必很好，我们之后再介绍其他设计方法。

注意自己在simulink里搭建时，状态观测器会被离散，如果离散的sample time小于ode的sample time，那么会引发比较大的响应振荡，也就是会产生比较大的超调。这是离散系统的设计问题，我们这里把两个sample time保证一样，可以看到比较理想的无超调曲线。（因为我们不是把两个根都放置在了-5嘛。）

3. 积分饱和 Integral windup and Anti-windup Control

积分控制最常见存在于在PID控制器中。积分控制能抑制常值扰动，但是对于随时变化的一些扰动却效果不佳。基于这个事实，一般的想法总是，有I控制总比没有好。可是，误差积分控制的引入还容易引起系统瞬态变差。导致这个现象的最常见的原因就是积分饱和(Integral windup)现象。

在上述设计过程中，我们对于理论控制信号的幅值没有做过多的限定，但是实际控制系统中的驱动器(actuator)的输出往往是限幅的，也就是存在output limit，也同时有上界与下界。如果根据control law计算得到的控制信号过大，导致actuator达到了output limit(saturation)，比如达到了upper bound，那么这时候实际的控制输入会被限制在一个常值，而理论的控制输入可能还在不断增加，所以积分器的输出还在不断地增长。误差在实际控制的作用小可能从大到小不断减小。当系统输出与参考信号的误差变号时，积分器的输出开始减小，理论控制信号也会开始减小，但是由于此时理论控制信号可能已经远超actuator的output limit，进入了所谓的饱和区(windup)，所以理论控制信号需要退出饱和区，回到output limit才能改变此时actuator的实际输出。在退出饱和区之前，实际actuator的输出不会发生改变，直到理论控制信号回到actuator的有效作用区。那么在这段进入饱和和退出饱和区的这段时间，反馈信号实际上是失灵的，系统行为将不受设计所控制发生，系统输出继续增长，产生很大的超调。可以参考下面这篇文章的演示去理解：

在process control中，积分控制也被称为reset control。在没有积分控制的时候，如果说set point被设定到了10，实际输出只能达到9.9。这时候操作人员需要手动的把set point给reset到10.1，这样才能得到10的结果。而采用了积分控制之后，系统就能自动跟踪到set point 10，所以称integral control为reset control。

那么解决这个问题的办法，通常称之为integrator anti-windup。解决windup问题要回归积分器本身：由于积分器

对于一个采用PI控制器的反馈控制系统，有如下结构，在

Anti-windup有很多种schemes，比较容易实现的一种就是在发生windup时，通过逻辑电路直接关闭积分器，使其失效，当实际控制回到actuator的有效区时，再启动积分器。在[1]中给出了两种等效的anti-windup方案，如(a)和(b)所示，两者实际上是一回事，只是前者容易理解，后者容易实现。

在这种方案中，我们把实际控制输入

需要注意，实际中一般会设计一个电子饱和检测装置，其阈值低于物理系统的极限位置，以防止物理系统达到极限发生损坏。

参考文献 Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] Chi Tsong Chen, Linear System Theory and Design, 3th ed., Oxford University Press, 1998.