背包问题求具体方案

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围

0<N,V≤1000

0<vi,wi≤1000

输入样例

1
2
3
4
5
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出样例：

1
1 4

思考

1.要达到题目中所说的 字典序最小，我们就要从最终结果往前推，看我们每一步选择了哪个物品

对应到代码中 就是判断 f[i][cur_v]==f[i+1][cur_v-v[i]]+w[i] 以此来推断第i个物品选择了没有

2. 为什么要采取这样由结果反推的输出方式？

因为在dp的过程中，最优的方案是在不断变化的，对于

f[i][j]=f[i+1][j];

if(j>=v[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i+1][j-v[i]]+w[i]);

可能在这一一步中 f[i][j]的最优选择是选择了第i件物品的

但是在后续递推的过程中，这个方案可能就被淘汰掉

因此不能在dp的过程中输出最优的方案，而必须由结果反推。

3.回到我们最初的问题: 输出字典序最小的方案

传统01背包问题 是大的编号在后(res 的编号是f[n][m])

由结果反推我们并不能够得到字典序最小，因此我们才选择反转一下方向做dp

代码

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#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
int v[N], w[N];
int n, m;
int f[N][N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) cin>>v[i]>>w[i];
    
    for(int i = n; i >= 1; i--)
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            f[i][j] = f[i+1][j];
            if(j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i+1][j-v[i]] + w[i]);
        }
    
    int j = m;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        if(j >= v[i] && f[i][j] == f[i+1][j-v[i]] + w[i]){
            cout<<i<<" ";
            j -= v[i];
        }
    
    return 0;
}