1 决策树原理

决策树是基于树形结构来进行决策的，目的是产生一颗泛化能力强的决策树，其基本流程遵循简单且直观的分而治之策略。一般的，一颗决策树包含一个根结点、若干内部结点和若干叶结点；其中叶结点对应决策结果，其他结点对应一个属性测试，每个分支代表一个判断结果的输出；每个结点包含的样本集合根据属性测试的结果被划分到子结点中；根节点包含样本全部结点。

1.1 决策树的构造

对于训练集 D = { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , … , ( x m , y m ) } D={(x_1,y_1),(x_2,y_2),dots,(x_m,y_m)} D={(x1​,y1​),(x2​,y2​),…,(xm​,ym​)}和属性集 A = { a 1 , a 2 , … , a d } A={a_1,a_2,dots,a_d} A={a1​,a2​,…,ad​}

递归构造(D, A):

1. 生成结点node；
2. 如果$D$中样本全部属于同一类别$C$，那么将node标记未$C$类叶结点，return；(该步是以当前结点所含样本最多的类别划分，注意与第5步区别)
3. 如果$A$为空或者$D$中样本在$A$上取值相同，那么将node标记为叶结点，其类别标记为$D$中样本数最多的类，return；
4. *从$A$中选择最优划分属性$a_{\ast }$(例如，选择属性脐部)；
5. 遍历$a_{\ast }$中的每一个属性值$a_{\ast }^v$(例如脐部属性，属性值有凹陷、稍凹、平坦)，并执行如下操作：
   为node生成一个分支；
   令$D_v$表示$D$中在$a_{\ast }$取值为$a_{\ast }^v$的样本子集；
   如果$D_v$为空，那么将分支结点标记为叶结点，其类别标记为$D$中样本最多的类，return(例如，脐部凹陷的样本集为空，直接标记为叶结点，类别为好瓜)；(该步是以根节点所含样本最多的类别划分，注意与第2步区别）
   否则以$D_v$和$a_{\ast }\notin A$ 为分支结点，递归构建下一个结点;
6. 输出以node为根节点的决策树。

1.2 划分指标

从构造过程可知，决策树学习的关键在于第4步，如何选择最优划分属性。因此这里有两个划分指标：信息增益和基尼(GINI)系数。

1.2.1 信息增益

信息增益衡量的是划分前后信息不确定性程度的减小。而“信息熵”是衡量样本集合纯度最常用的一种指标，“信息熵”越小样本集合的纯度越大。因此我们使用“信息熵”来衡量样本的不确定程度，定义为：
$$H(D)=-\sum _{k=1}^{|y|}{p}_{k}log{p}_k$$
其中$k$表示样本的标签，$p$表示该类样本出现的概率。样本集合越纯则$p_k$越大，则$Ent(D)$越小。

在对样本进行划分时，我们选择属性$a$，假设该属性有$v$个可能的取值 { a 1 , a 2 , … , a v } {a^1,a^2,dots,a^v} {a1,a2,…,av}，那么依此划分会产生$v$个分支，第$v$个分支的数据集为$D^v$，由此可计算出每个分支条件下对应的信息熵，即条件熵：
$$\begin{gathered} H(D|a)=\sum _{a^v\in a}p(a^v)H(D|a=a^v) \\ =-\sum _{a^v\in a}p(a^v)\sum _{y\in Y}p(y|a^v)logp(y|a^v) \\ =-\sum _{a^v\in a}\sum _{y\in Y}p(y,a^v)logp(y|a^v) \\ =-\sum _{a^v\in a,y\in Y}p(y,a^v)log\frac{p(y,a^v)}{p(a^v)} \\ =\sum _{a^v\in a,y\in Y}p(y,a^v)log\frac{p(a^v)}{p(y,a^v)} \end{gathered}$$
信息增益定义为信息熵与条件熵的差值，即父亲节点的信息熵减去所有子节点归一化条件下的信息熵：
$$IG=H(D,a)=H(D)-H(D|a)$$
信息增益IG越大，说明使用该特征划分数据所获得的信息量变化越大，子节点的样本“纯度”越高。

因此，属性选择为：
$$a_{\ast }=argma{x}_{a\in A}H(D,a)$$

1.2.2 基尼(GINI)系数

同样的，我们可以使用基尼系数衡量样本集合的不纯度。
$$Gini=1-\sum p_i^2$$
当我们划分时，计算使用当前属性$a$划分的基尼系数：
$$Gin{i}_a=\sum _{a\in A}p(A=a)[1-\sum p_i^2]$$
一般来说，我们选择使得划分后Gini指数最小的特征（注意这里是直接根据Gini指数进行判断，而并非其变化量）:
$$a_{\ast }=argmi{n}_{a\in A}Gin{i}_a$$

1.3 决策树种类

1.3.1 ID3

使用信息增益作为划分指标。

1.3.2 C4.5

ID3越细小的分割分类错误率越小，所以ID3会越分越细，但是这会导致过度学习。基于此C4.5对ID3进行了改进，使用信息增益率作为划分指标。如果分割太细那么增益率的分母就会增加，信息增益率会降低，其他的构建过程和ID3相同。
信息增益率定义为：
$$\begin{gathered} H_{r}atio(D,a)=\frac{H(D,a)}{IV(a)} \\ IV(a)=-\sum _{a^v\in a}p(a^v)logp(a^v)=-\sum _{a^v\in a}\frac{|D^v|}{|D|}log\frac{|D^v|}{|D|} \end{gathered}$$

1.3.3 CART

CART叫分类回归树，它是一种二叉树。使用基尼系数(Gini)作为划分指标。CART与ID3有相同的问题，可能导致划分太细导致过度学习。

2 剪枝处理

前面已经说过决策树可能会划分过细，导致过度学习，此时可以使用剪枝技术进行处理，防止过拟合。剪枝技术可分为“预剪枝”和“后剪枝”。

2.1 预剪枝

预剪枝是指在决策树生成个过程中，对每个结点在划分前先进行评估，若当前结点的划分不能带来决策树泛化性能的提升，则停止划分，并将当前结点标记为叶结点，类别标记为当前结点样本集合中样本数最多的类别。

2.2 后剪枝

后剪枝是指先从训练集生成一颗完整的决策树，然后自底向上地对非叶子结点进行评估，若该结点对应地子树被替换为叶结点能带来泛化性能地提升，则将该子树替换为叶结点。

最后

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