概述
在提到范数这一概念的时候，我想说说范数出现的原因，特别是大数据热的飞起的今天。首先我们引出如下定理：
由上定理可知，我们需要对序列中的每个元素都检查其是否收敛与某个数，该问题属于遍历性问题。对于
遍历性问题而言，数量小的还好办，数据量大的话计算机就无能为力了。所以我们希望将遍历性问题转化为非
遍历性问题。还是拿上面定理举例。
这就引出了范数的概念，我理解的范数就是表示数与数之间的距离的函数。
1.向量范数
定义：
对于所有满足上述条件的实值函数都可以称为向量范数，可以证明这样的向量范数不唯一，
所以就有了1范数、2范数、无穷范数的概念，正是由于其不唯一性，我们在工程实践中可以
针对不同问题选择合适的向量范数，简化运算。
范数的几何表示：
这样理解范数这个概念应该好理解一点。
对于向量范数，具有如下性质：
2矩阵范数
矩阵范数是有向量范数推导过来的，其定义如下：
矩阵范数比向量范数的区别就是多了第四条公理，其他都一样。既然出现了两种范数，
我们就希望知道矩阵范数与向量范数之间存在什么关系？？就引出了矩阵范数和向量范数
相容的概念。
由第二条定理可以知道，一个矩阵范数可以通过向量范数来表示，我觉着这条性质是矩阵范数
与向量范数本质上的关系。通过第二条定理我们可以推出如下三条定理，这三条定理给我们阐述了
怎么求矩阵的1范数、2范数和无穷范数。
3 范数的一些应用
学了范数，我想更多的关注点应该在于范数有哪些用处？？这里我只讲三点用处。
3.1.矩阵的非奇异条件
我们知道，在很多时候会遇到判断矩阵是否可逆？？目前我们知道的判断矩阵是否可逆的
办法就是判断矩阵的秩是否为0，或者矩阵是否满秩。现在利用范数又有了一种方法：
该定理可以干什么？？这个定理不但可以判断矩阵是否可逆，还可以判断矩阵的放大量。
我们知道对于一个观测系统其观测方程可以写成：y=bx,其中y为测量变量，x为观测变量。而
对于一个系统中我们常常得到的是测量变量y，怎么通过测量变量来得到观测变量x，则有
,而对于一个矩阵的求逆，常常计算量非常复杂，且存在病态？？怎么来理解病态这个词语。
就拿1/x这个式子来说，当x趋向于0时，x稍微改变一点，1/x这个式子的结果是不是会放大的很大。而我们在
测量过程中，或者说在建模当中肯定会出现误差，这时候如果矩阵的秩接近0，求逆就会存在很大的误差，这
就是矩阵的病态。通过范数我们就可以估计逆矩阵的值。
3.2.近似矩阵
上面我们说了，对于矩阵求逆会出现病态，我们就想知道如果测量矩阵b出现误差为
，估计矩
，估计矩
阵的
逆相应会发生多大的误差？？
我想解读一下这三条性质以及这三条性质能干嘛？？首先这条定理成立是有条件的，
在用这条定理的时候一定要注意，条件1矩阵A一定要可逆的，条件2是矩阵A和误差矩阵相
乘的范数小于1（表明误差满足一定条件）。对于性质1，一个矩阵A加上一个误差矩阵后，
我们想知道该矩阵是否可逆，
如果不可逆的话，所有的估计都是白费功夫，所以该性质表明
一个可逆矩阵A在误差满足一定
条件的时候是可逆
的，解决了我们的疑虑。对于性质2，性质2
解决了我们想知道对于一个矩阵存在误差后，矩阵逆的误差放大量有多少？？对于性质3，解
决了误差的相对放大量的上界是多少，注意这里是相对放大量？？所以说这三条定理基本解决
了工程上对于误差要解决的问题：1.带误差的矩阵逆是否存在？2.存在的误差情况下，求逆后的
误差放大量是多少？？相对原矩阵的相对放大量是多少？？
3.3谱半径
不知道你们学过现代控制理论没有？？对于一个系统的可观，可控有没有一定的了解。在
现代控制理论中，对于状态矩阵，如果状态矩阵的特征值都小于1，则该系统可控。但是在工程
中求取特征值和矩阵求逆一样，非常困难，所以我们就想我们不一定非得把特征值都求出来呀，
如果我们知道最大特征值，然后最大特征值和1比较不就知道该系统是否可控了嘛。这就引出了
谱半径的概念：
既然有了谱半径的概念，那么我们怎么估计谱半径的大小呢？？这时候就需要范数出场了。
这时候的你需要看看怎么求1范数、2范数、无穷范数的方法？？对于1范数、无穷范数的方法
真的是简单的不能再简单了，为啥还要傻傻的去求矩阵的特征值呢？？
待续
最后
以上就是机智楼房为你收集整理的范数理论及其应用的全部内容，希望文章能够帮你解决范数理论及其应用所遇到的程序开发问题。
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