【2022寒假基础集训】第一场-A.九小时九个人九扇门【DP+01背包变形】

Date：2022.01.24
时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld
题目描述
在打越钢太郎的著名解谜游戏系列《极限脱出》的第一作《九小时九个人九扇门》中，有这样一个有趣的设定：游戏中，9位主人公被困在一座大型的豪华巨轮中，每个人手上都有一个奇怪的手表，手表上有一个数字，9个人的数字分别是1-9；在巨轮中，还有很多紧闭的数字门，每扇数字门上也有一个1-9的数字，要想打开数字门逃出生天，主角们必须要满足一个奇怪的条件：
k个人能够打开门上数字为d的一扇数字门，当且仅当这k个人的腕表数字之和的数字根恰好为d。
一个数字的数字根是指：将该数字各数位上的数字相加得到一个新的数，直到得到的数字小于10为止，例如，149的数字根为149 => 1+4+9=14 => 1+4=5，故149的数字根为5。我们约定，小于10的数字，其数字根就为其本身。
例如，如果游戏中的一宫（手表数字为1）、四叶（手表数字为4）、八代（手表数字为8）三人组合在一起，就可以打开编号为4的数字门，这是因为1+4+8=13，而13的数字根为4。
现在，你是游戏的主角，淳平，你知道船上包括自己在内的n个人的手表数字，为了分析局势，你想要计算出可以打开1-9号门的人物组合有多少种，你可以完成这项任务吗？
输入描述:
输入的第一行包含一个整数n(1≤n≤10^5)，主人公的数量。
下面一行n个数，第i个数字ai(1≤ai≤10^9)表示第ii位主人公的腕表数字。
输出描述:
你需要输出9个数字，第ii个数字表示有多少种不同的人物组合，可以打开编号为ii的数字门。
答案可能很大，请你将答案对998244353取模后输出。
示例1
输入
9
1 2 3 4 5 6 7 8 9
输出
56 56 58 56 56 58 56 56 59

思路：
①不难发现，所有数的数字根就是数本身%9的结果。
证明：$abcd\%9=(a\cdot 1000+b\cdot 100+c\cdot 10+d)\%9=(a+b+c+d)\%9$
②答案要求$[1,9]$，因此每个数只有转化为数字根后才对答案有贡献。
③定义状态$f[i][j]$：考虑前$i$个数字，取其中若干个数的数字根之和$\%9==j$的最大方案数。【等价于取若干个数字之和，再求这个和的数字根为$j$的最大方案数，因为①。】
④其中$[1,i]$中每个数字可选可不选，求的也是若干个数的数字根之和$\%9==j$的最大方案，好像01背包，因此按二维的01背包求解。
⑤注意最后$f[n][i]【i\in [1,8]】$为$[1,8]$的答案；$f[n][0]$表示$\%9==0$（即$i==9$）的方案，特别注意至少要选一个，因此$f[0][0]$不存在，答案记得-1。
代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10,mod=998244353;
typedef long long LL;
LL n,m,a[N],f[N][10];
int main()
{
    cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=0;j<9;j++)
        {
            f[i][j]+=f[i-1][j];
            f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][(j-a[i]%9+9)%9])%mod;
        }
    for(int i=1;i<9;i++) cout<<f[n][i]<<' ';
    cout<<f[n][0]-1;
    return 0;
}

最后

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