计算和为给定数的连续正整数数列

对于这种算法的设计，我们最容易想到的就是从 1 到 sn 循环遍历所有的数，对于每个数再循环计算是否以这个数为起点总和正好是sn。这种算法的时间复杂度大概是O(n*log2n), 也就是说如果这样计算，当 sn = 100万时，大概需要循环 2000万次左右。 这样做效率自然是比较低的。那么我们有没有比上述方法更高效的方法呢？答案是肯定的。

首先我们看等差数列求和的公式：Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)/2

从这个公式我们不难看出当 Sn 和 n 固定时求a1 是一个线性函数：a1 = (Sn – n(n-1)/2) / n

有了这个函数，优化这个算法就很简单了，我们只要把 n 从 1 开始遍历，一直遍历到 (Sn – n(n-1)/2) < n 为止，就可以找到所有的符合条件的连续数列了，这个算法的算法复杂度为 2N 的平方根，也就是说当 Sn = 100 万时，只需要循环1414次就可以得到所有的数列。

题目：在1～500这500个整数中,找出连续相加等于500的数?

简要分析：int[] X={1,2,i,…………499}

条件是:i+(i+1)+ ……+(i+k)=500 (1式)

运用等差数列求和公式：(k+1)*i+(k+1)*k/2=500 (2式）

其中i和k还有一个隐藏关系i*k<500 (3式)

于是很自然得到如下解法：

<?php 
$sum = 500;
$max = 500;
for ($i = 1; $i <= $max; ++$i) {
$s = ($sum - $i*($i-1)/2);
$h = $s / $i;
if ($s % $i == 0 && $s > 0 && ($h + $i - 1) <= $max) {
for ($j = 0; $j < $i; ++$j) {
echo $h++ . ';';
}
echo '<br>';
}
}
?>