【剑指offer】异或去重

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    这篇文章没有代码，介绍的是纯理论的思路。

    异或是一种基于二进制的位运算，用符号XOR或者 ^ 表示，其运算法则是对运算符两侧数的每一个二进制位，同值取0，异值取1。它与布尔运算的区别在于，当运算符两侧均为1时，布尔运算的结果为1，异或运算的结果为0。

    异或的性质：

    1、交换律：a^b = b^a；

    2、结合律：(a^b)^c = a^(b^c)；

    3、对于任意的a：a^a=0，a^0=a，a^(-1)=~a。

    了解了上面这些，来看看这个，很重要，后面的程序都要用到这个结论：

    对于任意的a，有a^b^c^d^a^k = b^c^d^k^(a^a) = b^c^d^k^0 = b^c^d^k，也就是说，如果有多个数异或，其中有重复的数，则无论这些重复的数是否相邻，都可以根据异或的性质将其这些重复的数消去，具体来说，如果重复出现了偶数次，则异或后会全部消去，如果重复出现了奇数次，则异或后会保留一个。

    下面来看两道题目：

     1、1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？

    当然，这道题，可以用最直观的方法来做，将所有的数加起来，减去1+2+3+...+1000的和，得到的即是重复的那个数，该方法很容易理解，而且效率很高，也不需要辅助空间，唯一的不足时，如果范围不是1000，而是更大的数字，可能会发生溢出。

    我们考虑用异或操作来解决该问题。现在问题是要求重复的那个数字，我们姑且假设该数字式n吧，如果我们能想办法把1-1000中除n以外的数字全部异或两次，而数字n只异或一次，就可以把1-1000中出n以外的所有数字消去，这样就只剩下n了。我们首先把所有的数字异或，记为T，可以得到如下：

T = 1^2^3^4...^n...^n...^1000 = 1^2^3...^1000（结果中不含n）

    而后我们再让T与1-1000之间的所有数字（仅包含一个n）异或，便可得到该重复数字n。如下所示：

T^(a^2^3^4...^n...^1000) = T^(T^n) = 0^n = n

    这道题到此为止。

    2、一个数组中只有一个数字出现了一次，其他的全部出现了两次，求出这个数字。

    明白了上面题目的推导过程，这个就很容易了，将数组中所有的元素全部异或，最后出现两次的元素会全部被消去，而最后会得到该只出现一次的数字。

    该题目同样可以该为如下情景，思路是一样的：数组中只有一个数字出现了奇数次，其他的都出现了偶数次。

最后

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