LeetCode第280场周赛 - 数组的最大与和 - 匈牙利算法/KM算法

关键词： leetcode | 280 周赛 | KM | 匈牙利算法

题目：

• LeetCode「美团 & 力扣」联合主办 第 280 场周赛 第四题 《数组的最大与和》

解题思路：

• 题目的本质是将数组nums中的n个数字分配到不同的篮子中，每个数字分配到每个篮子时都有一个权值（按位与运算结果值），需要将整体分配方案的权值和最大化。
• 可以明显地看出是两类物品的匹配问题，又涉及权重的最大化，故可将题目抽象为一个二分图最大权匹配问题。
• 先考虑最朴素的方法，将每个数字和每个篮子的匹配方案都枚举一遍，计算出每种方案的权值和后比较获得最大值即可。算法时间复杂度为$O((n\ast numSlots)!)$。（当然是不可行的）
• 当然，二分图匹配问题毕竟很经典了，如果能想到二分图匹配问题，就应当能想到可能存在已有算法（但是当然没学习过相关算法的话也很难现场想出解决算法）。实际上确实存在已有算法——KM算法，能够解决二分图最大权匹配问题，即找到二分图匹配方案中的权值和最大方案。
• 那么先上代码，再慢慢解释KM算法的原理（实际上我也只是听说过该算法，这次也好好学习一下）

代码：

• 代码根据参考文章[3]进行改进

class Solution {

    // 建图
    void buildGraph(vector<vector<int>>& edges, vector<int>& nums, int numSlots) {
        int n = nums.size();
        edges = vector<vector<int>>(n,vector<int>(2*numSlots));
        for(int i=0; i<n; i++) {
            for(int j=0; j<numSlots; j++) {
                edges[i][j] = edges[i][j+numSlots] = (nums[i]&(j+1));   // j，j+numSlots 分别表示编号为 j+1 的篮子的两个空位
            }
        }
    }

    // KM算法寻找最大权匹配
    // 在匈牙利算法的基础上增加期望度机制。
        // 初始化左半图每个number的期望度为该number最大可获得权值，右半图每个slot的期望度为0。
        // 每次匹配时，只考虑边权等于相连number和slot期望度和的边。
        // 当一次匹配中无法成功时，执行期望度更新操作：将涉及的所有number期望度减一、所有slot期望度加一。
    int KM(vector<vector<int>>& edges) {
        int n = edges.size(), m = edges[0].size();  // 二分图两边的点数
        vector<int> match(m, -1); // match[i]为teacher[i]匹配的student编号
        vector<int> exNumber(n); // number期望
        vector<int> exSlot(m, 0); // slot的期望
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            exNumber[i] = *max_element(edges[i].begin(), edges[i].end());
        }
        // 为每个number匹配teacher
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            while(true) {
                vector<bool> visNumber(n, false);
                vector<bool> visSlot(m, false);
                if (dfs(i, m, edges, match, visNumber, visSlot, exNumber, exSlot)) break;
                // 无法匹配降低期望
                for (int j = 0; j < n; ++j) {
                    if (visNumber[j]) exNumber[j]--;
                }
                for (int j = 0; j < m; ++j) {
                    if (visSlot[j]) exSlot[j]++;
                }
            }
        }

        int ans = 0;
				// 将每一对匹配的权值加和（这里通过遍历slot的匹配情况来实现）
        for (int i = 0; i < m; ++i) if(match[i]!=-1) {
            ans += edges[match[i]][i];
        }
        return ans;
    }

    // 匈牙利算法寻找完美匹配
    // 为第i个number寻找匹配的slot。对每个可匹配slot，若已被其他number匹配，则递归为其他number寻找另外的可匹配slot；找不到则为该number匹配其他slot
    bool dfs(int i, int m, vector<vector<int>>& edges, vector<int>& match, vector<bool>& visNumber, vector<bool>& visSlot, vector<int>& exNumber, vector<int>& exSlot) {
        visNumber[i] = true;
        for (int j = 0; j < m; ++j) {
            if (visSlot[j]) continue;
            int diff = exNumber[i] + exSlot[j] - edges[i][j];
            if (!diff) {
                visSlot[j] = true;
                if (match[j] == -1 || dfs(match[j], m, edges, match, visNumber, visSlot, exNumber, exSlot)) {
                    match[j] = i;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
public:
    int maximumANDSum(vector<int>& nums, int numSlots) {
        /* 
         * 问题抽象为 “n个数字 - 2*numSlots个篮子” 的二分图最大匹配问题
         ** 二分图中的点：
         *** n个数字：nums中需要被分配的n个数字
         *** 2*numSlots个篮子：每个篮子最多可以放两个数字
         ** 二分图中的边：
         *** 每个数字和每个篮子间都有一条边，边权为数字与篮子编号的 按位与运算 结果，表示把该数字放到该篮子时可获得的权值
         */
        
        // 建图（用n*2numSlots的邻接矩阵表示图。因为后续算法中只需要考虑边权而不需要考虑点权，故只需保存边权信息。）
        vector<vector<int>> edges;
        buildGraph(edges,nums,numSlots);
        // 计算（使用KM算法，计算最优匹配方案权值和）
        return KM(edges);
    }
};

KM算法细节解释：

• 建议先浏览参考文章[1]后再阅读本段，参考文章[1]中以简单的例子介绍了KM算法的整体流程，本段仅以笔者浅薄的知识做一些补充，相当于参考文章[1]的进阶版。
• KM算法本质上在匈牙利算法的基础上增加期望度机制。
  • 初始化左半图每个number的期望度为该number最大可获得权值，右半图每个slot的期望度为0。
  • 每次匹配时，只考虑边权等于相连number和slot期望度和的边。
  • 当一次匹配中无法成功时，执行期望度更新操作：将涉及的所有number期望度减一、所有slot期望度加一。
• 可行性：
  • 相当于限制了参与搜索的边的集合，使得权值较大的边能被优先搜索，保证了算法可行的充分性。
  • 每次降低期望度时，将本次搜索中左半图所有点期望度减1、右半图所有点期望度加1。每次降低期望度时，设涉及到的左半图点个数为$n_1$，则涉及到的右半图点个数为$n_1-1$（不搜第$n_1$个左半图点时恰好匹配，而加入该点后不匹配，因此相关左半图点刚好比相关右半图点多一个）。
  • 对已被匹配的边而言，对应左半图点期望度减1，右半图点期望度加1，故这些边仍然在被搜索的边集合中。期望度更新操作后，每个左半图点相关的权值稍小的边被加入搜索集中。由于更新时以1为粒度，所以能保证搜索过程中不会漏掉边，保证了算法可行的必要性。

参考：

• [1] https://www.cnblogs.com/logosG/p/logos.html
• [2] https://www.cnblogs.com/fzl194/p/8834847.html
• [3] https://leetcode-cn.com/problems/maximum-compatibility-score-sum/solution/c-km-suan-fa-er-fen-tu-dai-quan-zui-da-p-ztmd/

最后

以上就是复杂鞋子为你收集整理的LeetCode第280场周赛 - 数组的最大与和 - 匈牙利算法/KM算法LeetCode第280场周赛 - 数组的最大与和 - 匈牙利算法/KM算法的全部内容，希望文章能够帮你解决LeetCode第280场周赛 - 数组的最大与和 - 匈牙利算法/KM算法LeetCode第280场周赛 - 数组的最大与和 - 匈牙利算法/KM算法所遇到的程序开发问题。

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