概述
一、[实验目的]
1
．在理论学习的基础上，通过本实验，加深
FFT
的理解，熟悉
FFT
子程序；
2
．熟练掌握
FFT
实现两个序列的线性卷积的方法；
3
．熟悉应用
FFT
进行信号频谱分析过程中可能出现的问题以便在实际中正
确应用
FFT
；
4.
学习用
FFT
对连续信号进行谱分析的方法和参数选择原则；
5.掌握用 FFT 对连续信号进行谱分析时，由模拟信号采样得到序列的中
k 值与模拟信号实际频率 f 或Ω的对应关系。
k 值与模拟信号实际频率 f 或Ω的对应关系。
二、[实验原理]
FFT 并不是与 DFT 不同的另一种变换，而是为了减少 DFT 运算次数的一种
DFT 快速算法。常用的 FFT 是基 2 算法，其长度 N=2^M 。当要变换的序列长
度不等于 2 的整数次幂时，为了使用以 2 为基数的 FFT，可以用末位补零的方
法，使其长度延长至 2 的整数次幂。其应用一般都以卷积运算的具体计算为依据，
或者以 DFT 作为连续傅里叶变换的近似为基础。
1.用 FFT 计算线性卷积
用 FFT 可以实现两个序列的循环卷积，其原理框图如图 3-1。一般情况，设
两个序列的长度分别为 N1 和 N2，循环卷积等于线性卷积的充要条件是 FFT 的
长度 N 满足：N≥N1＋N2，对于长度不足 N 的两个序列分别将他们补零延长到 N。
图 1.用 FFT 计算循环卷积的原理框图
2．用 FFT 对信号进行频谱分析
MATLAB 提供了快速傅里叶变换算法 FFT 计算 DFT 的函数 fft，其调用格
式如下：
Xk = fft(xn, N)
或
Xk = fft(xn)
参数 xn 为被变换的时域序列向量，N 是 DFT 变换区间长度，当 N 大于 xn 长
度时，fft 函数自动在 xn 后面补零。当 N 省略时，fft 函数按 xn 的实际长度计
算，此时，相当于 DFT 的计算。
在运用 DFT 进行频谱分析的过程中可能产生三种误差：混叠、泄漏、栅栏
效应，具体概念详见教材。其中需要注意的是减少栅栏效应（提高频谱密度）与
提高 DFT 频率分辨率是不同的两个概念，减小栅栏效应的一个有效方法就是借
助于在原序列的末端补零。补零只能减轻栅栏效应，不能提高 DFT 的频率分辨
率。
3.模拟信号的频谱分析
(1)模拟信号的采样及 DFT 谱分析的原对模拟周期信号进行谱分析时，首先要按照采样定理将其变成时域离散信号。用 DFT 分析模拟信号谱的原理如图 3-2 所示。
序列 x(n)的傅里叶变换和连续信号频谱的关系可以表示为：
上式说明：可以通过对连续信号采样并进行 DFT 再乘以 Ts，近似得到模拟信号 频谱的周期延拓函数在第一个周期[0,Fs]上的 N 点等间隔采样
图 2 用 DFT 分析模拟信号谱的原理示意图
(2) 模拟信号进行谱分析时的参数选择问题 对模拟信号进行谱分析时，有几个重要的参数要选择：采样频率 Fs、频率分 辨率 F、DFT 的长度 N、模拟信号的截取时长 Tp=N*Ts。 要提高谱分辨率，又保持谱分析的范围不变（Fs 采样频率不变），只能增长 纪录时间 Tp（截取长度），增加采样点数 N。
(3)周期信号谱分析时对截取长度 Tp 的要求
对模拟周期信号用 DFT（FFT）作谱分析，要求有两点：一是截取的长度 Tp 是周期的整数倍；二是采样频率满足采样定理，且满足每个周期中采样点数相等。 这样得到的离散谱才能代表离散信号的频谱。否则会有相当大的谱分析误差。如 果不知道信号周期，可以尽量选择信号的观察时间长一些。
三、实验内容
1．已知序列
利用 FFT 计算线性卷积 
，并画 出相应的图形
实验代码如下：
clc,clear,close all
N=8;
n=0:N-1;
xn=[1/2,1,1,1/2];
xk=fft(xn,N);
yk=xk.*xk;
yn=ifft(yk,N);
yn1=conv(xn,xn);
subplot(211)
stem(n,yn);
grid on;
title('循环卷积计算线性卷积');
xlabel('n');
ylabel('x(n)*x(n)');
subplot(212)
n1=0:1:6;
stem(n1,yn1);
grid on;
title('直接计算线性卷积');
xlabel('n');
ylabel('x(n)*x(n)');
循环卷积计算线性卷积
2．对如下模拟周期信号用 FFT 进行谱分析
选择 Fs=64Hz，对变换区间 N=16，32，64 三种情况进行谱分析，并回答相 应的问题。 说明，在绘制幅频特性曲线时需注意以下两点：
注意 1
：
用 DFT（FFT）对模拟信号分析频谱时，需将 X(k)的自变量 k 换算成对 应的模拟频率 fk 并作为横坐标绘图，以便于观察频谱。这样，不管变换区 间 N 或 Tp 取信号周期的几倍，画出的频谱图中有效离散谐波谱线所在的频 率值不变。
如图 3-2 所示，
注意 2：
对于由截取得到的序列 x(n)，其长度为 N 时，它的 DFT 定义为：
可见随着截取长度导致的 N 值的增大，所计算出来的同一模拟信号的幅
频特性幅度值会随着变换区间 N 的变化而变化。为避免幅度值随变换区间 N
变化的缺点，实际上在分析频谱时最好给出对最大值归一化的幅度值。如：
stem(fk,abs(Xk)/max(abs(Xk)))。
（1）用 stem 绘制三种情况下的幅频特性曲线 fk～X(k)，图中要求显示三种
情况的频谱分辨率 F 各是多少 Hz。
问题 3-1：
检查 N=16，32，64 三种情况下谱峰的出现位置，说明哪个是正
确的，哪个是不正确的？为什么？
问题 3-2：
观察幅频谱图，根据分辨率 F 读出信号 x(n)含有的频率分量分
别是多少 Hz？
实验代码如下：
clc,clear,close
all
xn=[0.5,1,1,0.5];
Xk=fft(xn,4);
Yk=Xk.*Xk;
yn=ifft(Yk);
n=0:3;
figure(1);
stem(n,yn,
'*'
,
'LineWidth'
,1);
grid
on
title(
'Xn 的线性卷积'
);
xlabel(
'n'
);
ylabel(
'yn'
);
%xt=cos(8*pi*t)+cos(16*pi*t)+cos(20*pi*t);
Fs=64;
T=1/Fs;
N=16;
n=0:N-1;
xnT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);
x16k=fft(xnT,16);
Tp=N*T;
F=1/Tp;
K=0:N-1;
fk1=-32:4:28;
figure(2)
subplot(311)
stem(fk1,abs(x16k));
grid
on
title([
'Xn16 点 FFT 频谱分辨率 F='
,num2str(F)]);
xlabel(
'k'
);
ylabel(
'Xk'
);
A=32;
n=0:A-1;
xnT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);
x32k=fft(xnT,32);
Tp1=A*T;
F1=1/Tp1;
fk2=-32:2:30;
subplot(312)
stem(fk2,abs(x32k));
grid
on
title([
'Xn32 点 FFT 频谱分辨率 F='
,num2str(F1)]);
xlabel(
'k'
);
ylabel(
'Xk'
);
B=64;
n=0:B-1;
xnT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T);
x64k=fft(xnT,64);
Tp2=B*T;
F2=1/Tp2;
fk3=-32:1:31;
subplot(313)
stem(fk3,abs(x64k));
grid
on
title([
'Xn64 点 FFT 频谱分辨率 F='
,num2str(F2)]);
xlabel(
'k'
);
ylabel(
'Xk'
);
figure(3)
subplot(311)
PSD1k=x16k.*conj(x16k)/16;
plot(PSD1k);
grid
on
title(
'N=16 功率谱曲线'
);
xlabel(
'k'
);
ylabel(
'PSD1k'
);
subplot(312)
PSD2k=x32k.*conj(x32k)/32;
plot(PSD2k);
grid
on
title(
'N=32 功率谱曲线'
);
xlabel(
'k'
);
ylabel(
'PSD2k'
);
subplot(313)
PSD3k=x64k.*conj(x64k)/64;
plot(PSD3k);
grid
on
title(
'N=64 功率谱曲线'
);
xlabel(
'k'
);
ylabel(
'PSD3k'
);
实验结果如下：
图 4Xn 的线性卷积结果
图 5Xn 等于 16，32，64 的频谱特性图
问题 3-1：
检查 N=16，32，64 三种情况下谱峰的出现位置，说明哪个是正
确的，哪个是不正确的？为什么？
问题 3-2：
观察幅频谱图，根据分辨率 F 读出信号 x(n)含有的频率分量分
别是多少 Hz？
问题 3-1
答：N=16 是不正确的，N=32、64 是正确的。因为 T=1/2，所以 Tp
应该取大于等于 1/2，而 N=16 时，Tp=1/4，所以得到的频谱不正确。
问题 3-2
答：根据 F 读出的频率分别为 4Hz,8 Hz,10 Hz,54 Hz,56 Hz,60 Hz
（2） 用 plot 绘制三种情况的功率谱曲线 fk～X(k)。
幅频谱：|X(k)| = abs (Xk)
功率谱：PSD(k)=|X(k)|2/N=X(k)X*(k)/N；Matlab 语句：
PSD = Xk.*conj(Xk)/N；
问题 3-3：
注意观察频谱的形状和谱峰出现位置，检查有无混叠和泄漏现象？
说明产生现象的原因。
实验代码如下：
clc;clear;close all
Fs=64;
Ts=1/Fs;
N1=16;N2=32;N3=64;
t1=0:Ts:Ts*(N1-1);
t2=0:Ts:Ts*(N2-1);
t3=0:Ts:Ts*(N3-1);
n1=0:N1-1;
n2=0:N2-1;
n3=0:N3-1;
xt1=cos(8*pi*t1)+cos(16*pi*t1)+cos(20*pi*t1);
xt2=cos(8*pi*t2)+cos(16*pi*t2)+cos(20*pi*t2);
xt3=cos(8*pi*t3)+cos(16*pi*t3)+cos(20*pi*t3);
xk1=fft(xt1,N1);
xk2=fft(xt2,N2);
xk3=fft(xt3,N3);
subplot(311)
PSD1=xk1.*conj(xk1)/N1;
plot((Fs/N1)*n1,PSD1)%功率谱
grid on
title("N=16，F=4 的功率谱")
xlabel('f/Hz')
ylabel('功率')
subplot(312)
PSD2=xk2.*conj(xk2)/N2;
plot((Fs/N2)*n2,PSD2)
grid on
title("N=32，F=2 的功率谱")
xlabel('f/Hz')
ylabel('功率')
subplot(313)
PSD3=xk3.*conj(xk3)/N3;
plot((Fs/N3)*n3,PSD3)
grid on
title("N=64,Tp=2 个周期，F=1 的功率谱")
xlabel('f/Hz')
ylabel('功率')
实验结果如下：
图 6 N=16，32，64 时功率谱曲线 fk～X(k)
问题 3-3：注意观察频谱的形状和谱峰出现位置，检查有无混叠和泄漏现象？ 说明产生现象的原因。
问题 3-3
答：有混叠现象，产生原因：在 Fs 确定条件下，在采样之前没有进
行滤波，所以使高于 Fs/2 的成分折叠而发生混叠。
有泄露现象，产生原因：由于对原信号进行截断，产生截断效应，使得离散
谱线展宽，使其它无频率成分处有了频率成分。
（2）为减少泄露，提高频谱分辨率，另取 N 值，观察谱分辨率、频谱泄露的
改善情况。
实验代码如下：
clc;clear;close all
Fs=64;
Ts=1/Fs;
N1=64;N2=128;N3=256;
t1=0:Ts:Ts*(N1-1);
t2=0:Ts:Ts*(N2-1);
t3=0:Ts:Ts*(N3-1);
n1=0:N1-1;
n2=0:N2-1;
n3=0:N3-1;
xt1=cos(8*pi*t1)+cos(16*pi*t1)+cos(20*pi*t1);
xt2=cos(8*pi*t2)+cos(16*pi*t2)+cos(20*pi*t2);
xt3=cos(8*pi*t3)+cos(16*pi*t3)+cos(20*pi*t3);
xk1=fft(xt1,N1);
xk2=fft(xt2,N2);
xk3=fft(xt3,N3);
subplot(311)
PSD1=xk1.*conj(xk1)/N1;
plot((Fs/N1)*n1,PSD1)%功率谱
grid on
title("N=64，F=4 的功率谱")
xlabel('f/Hz')
ylabel('功率')
subplot(312)
PSD2=xk2.*conj(xk2)/N2;
plot((Fs/N2)*n2,PSD2)
grid on
title("N=128，F=2 的功率谱")
xlabel('f/Hz')
ylabel('功率')
subplot(313)
PSD3=xk3.*conj(xk3)/N3;
plot((Fs/N3)*n3,PSD3)
grid on
title("N=256,Tp=2 个周期，F=1 的功率谱")
xlabel('f/Hz')
ylabel('功率')
实验结果如下：
图 7.N=64，128，256 时功率谱密度
因此，为减少泄露，提高频谱分辨率，应该增大 N。此处取 N 分别为 64， 128，256
最后
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