滤波器基础05——巴特沃斯、切比雪夫与贝塞尔滤波器

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滤波器基础01——滤波器的种类与特性

滤波器基础02——滤波器的传递函数与性能参数

滤波器基础03——Sallen-Key滤波器、多反馈滤波器与Bainter陷波器

滤波器基础04——全通滤波器

滤波器基础05——巴特沃斯、切比雪夫与贝塞尔滤波器

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前言

通常，滤波器模块或芯片通常会这样来描述自己，如5阶巴特沃斯低通滤波器，2阶切比雪夫滤波器，4阶贝塞尔滤波器，这些初看很奇怪的称呼其实是表达出了这些滤波器的一些关键特性。

巴特沃斯、切比雪夫等可统称为函数型滤波器。本博文将介绍这些函数型滤波器的定义与滤波器特性的区分。

一. 滤波器的零点与极点

滤波器传递函数如下：
$$H\left(s\right)=A_m\times \frac{1+m_{1}s+m_2{s}^2+...+m_m{s}^m}{1+n_{1}s+n_2{s}^2+...+n_n{s}^n}$$
此传递函数可改写与零极点的形式：
$$H\left(s\right)=K^{\ast }\frac{\left(s-z_1\right)\left(s-z_2\right)\cdots \left(s-z_m\right)}{\left(s-p_1\right)\left(s-p_2\right)\cdots \left(s-p_n\right)}$$
其中，$z_j\left(j=1,2,\cdots ,m\right)$为传递函数分子多项式等于零的根，称为传递函数的零点；$p_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$为传递函数分母多项式等于零的根，称为传递函数的极点；$K^{\ast }$称为传递系数。

传递函数有零点的滤波器称为零点滤波器，同样的，传递函数仅有极点的滤波器称为全极点滤波器。

像双极点滤波器，意思就是说此滤波器没有零点仅有两个极点，双极点也就等同于分母的阶数为二，所以双极点滤波器也就是一个无零点的二阶滤波器。

二. 全极点滤波器

一般来说，要构造出零点，滤波器电路就会比较复杂，所以，我们常用的都是全极点滤波器。

像巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波器均属于全极点滤波器。

而反切比雪夫滤波器、椭圆滤波器则属于零点滤波器。

2.1 全极点低通滤波器

以二阶低通滤波器为例，传递函数为：
$$H\left(j\omega \right)=A_m\times \frac{1}{1+\frac{1}{Q{\omega }_0}j\omega +\frac{1}{{{\omega }_0}^2}{\left(j\omega \right)}^2}=A_m\times \frac{1}{1+\frac{1}{Q}j\frac{\omega }{{\omega }_0}+{\left(j\frac{\omega }{{\omega }_0}\right)}^2}$$
令$x=\omega /{\omega }_0$，那么上式可以改写为：
$$H\left(j\omega \right)=A_m\times \frac{1}{1+\frac{1}{Q}jx+{\left(jx\right)}^2}$$
这就是归一化低通滤波器的表达式。

根据Q值不同，低通滤波器可分为三种：
$$\begin{gathered} Q<\frac{1}{\sqrt{2}},\text{贝塞尔型} \\ Q=\frac{1}{\sqrt{2}},\text{巴特沃斯型} \\ Q>\frac{1}{\sqrt{2}},\text{切比雪夫型} \end{gathered}$$
巴特沃斯滤波器最明显的特征是它的特征频率等于截止频率。它的通带平坦，没有起伏，过渡带下降速度一般。因为Q是个定值，所以巴特沃斯滤波器的电阻电容间的比例是唯一的。由于特性比较优秀，参数唯一，设计方便，巴特沃斯滤波器应用非常广泛。

贝塞尔滤波器在特征频率处的幅值小于0.707，低通滤波器信号的幅值是随着频率增大越来越小的，所以贝塞尔滤波器的截止频率小于特征频率。贝塞尔滤波器的过渡带比巴特沃斯还要缓慢，看起来它没什么优点，在幅频特性上确实是这样，但贝塞尔滤波器的相频特性优秀，它的通带群延时是最低的，这意味着贝塞尔滤波器可以有效减小通带信号失真，这是它最大的优点。

切比雪夫滤波器在特征频率处的幅值大于0.707，它可以是1甚至更大，它拥有最陡峭的过渡带。在通带内，切比雪夫滤波器具有隆起，且Q越大，隆起越大。

在Simulink中写出不同Q值的归一化传递函数，对于不同的函数型滤波器，它们的归一化传递函数如下图所示。

分别对应Q=0.5（贝塞尔），Q=0.707（巴特沃斯），Q=2（切比雪夫），Q=10（切比雪夫）。

Bode图：

可见，随着Q值的增大，幅频特性越来越陡峭。

LTspice仿真二阶SK型低通滤波器如下图所示。通过改变电容C2的值来改变Q值，即可实现巴特沃斯、切比雪夫与贝塞尔这三种滤波器。

所以说，这三种函数型滤波器并不是电路结构不同，而是电路元件参数不同。

2.2 全极点高通滤波器

类比于极点低通滤波器，极点高通滤波器同样可根据Q值划分为：贝塞尔型，巴特沃斯型，切比雪夫型。在simulink中写出它们的高通归一化传递函数，如下图所示。

Bode图：

可见，这三种高通函数型滤波器的特征和低通是完全一样的，Q值影响的是幅频特性隆起的大小，Q越大隆起越大。

2.3 全极点带通滤波器

在Simulink中写出三种归一化极点带通滤波器的传递函数如下：

Bode图：

2.4 全极点带阻滤波器

在Simulink中写出三种归一化极点带阻滤波器的传递函数如下：

Bode图：

2.5 全极点全通滤波器

在Simulink中写出三种归一化极点全通滤波器的传递函数如下：

Bode图：

三. 零点滤波器

零点滤波器包括逆切比雪夫滤波器，椭圆滤波器等，电路复杂，应用较少，此处忽略。

四. 参考

滤波101： 切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器与贝塞尔滤波器_哔哩哔哩_bilibili

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最后

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