【DSP】计算DFT频谱的参数选择

时域离散化（满足采样定理）

若信号的最高频率为$f_h$， 根据奈奎斯特采样定理，抽样频率(采样率)应满足：
$$f_s>2f_h$$
也就是抽样间隔$T$应满足：
$$T=\frac{1}{f_s}<\frac{1}{2f_h}$$
一般取$$f_s=(\text{ from }2.5\text{ to }3.0)f_h$$

频域离散化

对于DFT来说，时域和频域都是离散的。
因此频率函数也要抽样，变成离散的序列，其抽样间隔为$F_0$，这就是我们所说的频率分辨率。
由它可引出时间函数的周期，也就是所取的记录长度$$T_0=\frac{1}{F_0}$$

参数选择

由以上公式可见，要想增加信号的最高频率分量$f_h$，则时域的抽样间隔就一定减小，而$f_s$增加，由于抽样点数满足：
$$N=\frac{f_s}{F_0}=\frac{T_0}{T}$$
若是在$N$固定的情况下，$F_0$必然增加，即频率分辨力下降。
反之要提高频率分辨力（减小$F_0$），就要增加记录长度$T_0$（$f_s$减小）。
若要保证不发生频谱混叠，则必然会减小高频容量$f_h$。

要想兼顾高频容量（大$f_h$）和频谱分辨率（小或不变$F_0$），唯一方法就是增加记录长度的点数N，即满足：

$$N=\frac{f_s}{F_0}>\frac{2f_h}{F_0}$$
重要！！！

这个公式是未采用任何特殊数据处理（e.g. 加窗）的情况下，为实现基本DFT算法必须满足的最低条件。
如果加窗处理，相当于时域与窗函数相乘，则频域周期卷积，则必然加宽频谱分量。频率分辨力就可能变坏，为了保证频率分辨力不变，则必须增加记录长度，也就是增加数据长度$T_0$。

例：音乐频谱分析参数选择

用FFT进行针对音质的频谱分析，88键钢琴的最高音是四千多赫兹，很多中频到高频的乐器，2、3次泛音就在4-12kHz，是主要泛音区域，是音色质感的主要表现区域。要求抽样点数必须是2的整数幂，假定没有任何特殊的数据处理措施。已给条件为频率分辨力<=2Hz， 信号最高频率<=12kHz。试确定以下参量：

1. 最小记录长度$T_0$
最小记录长度由频率分辨力确定，
$$T_0\ge \frac{1}{F_0}=\frac{1}{2}=0.5(s)$$
2. 抽样点间的最大抽样时间间隔T(即最小采样率)
$$f_s>2f_h=24kHz$$
$$T<\frac{1}{2f_h}=\frac{1}{2\times 12\times 10^3}=4.17\times 10^{-5}(s)$$
3. 在一个记录中最少点数N
$$N>\frac{2f_h}{F_0}=12000$$
$$N=2^{14}=16384$$

参考书：数字信号处理 程佩青

最后

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