1 旋转矢量

  在前面曾多次提到了旋转矢量，也就是在单位圆上旋转的一个复指数信号。旋转的方向为逆时针，旋转的角速度Ω=2π/N，N为旋转矢量的周期。

  现在若使旋转的方向相反，则可以得到顺时针旋转的旋转矢量。对于顺时针和逆时针旋转时，有一个相似的东西，也就是复指数部分，将其提出，作为旋转因子。在旋转因子的上方添加一个kn就变成了一个旋转矢量。
  有了这个旋转矢量和旋转因子过后，就可以用对DFT进行一下变化了。


  将DFT当中的复指数用旋转矢量代替后有如下结果。

1.1 旋转矢量的性质

• 周期性：旋转矢量是以大N为周期，所以相差为N的两个旋转矢量两者是相同的。
  

• 对称性：求一个旋转矢量的共轭，可以看到，一个旋转矢量的共轭就相当于有一个旋转方向相反的矢量。
  

• 可约性： 对上标和下标同乘以一个或除以一个数，得到两个旋转矢量相同。
  

• 旋转矢量的几个特殊值
  

2 快速傅里叶变换推导

  有了前面的旋转矢量和DFT的计算公式，就可以来对原来的DFT计算公式做一个变形。
  对于N个点的DFT需要进行N(N-1)个加法和N²个乘法。

  将复指数用旋转矢量进行替换可以得到如下结果。
  将DFT按照奇偶进行分类，序号为奇数为一组，序号为偶数的为一组，


  由于按照奇偶对原来的序列进行了划分，可以把奇偶序列分别看作两个新的序列。这样，原来的DFT的计算的重心就变成了两个子序列的DFT的计算。



  以8个点的DFT计算为例。

  对于前4个点的DFT计算，可以仔细观察一下各自的规律，根据旋转矢量的性质，其中没一点的傅里叶变换的计算其前4个计算值和后4个计算值的旋转矢量是相同的。因此可以得出如下的结果：

  对于后4个点的傅里叶变换，根据旋转矢量的周期性，能够得到和前4个点类似的结果。

  因此就可以得到DFT的新的表达式：可以看到，将原来的N个点的DFT的计算，转换成了2个N/2个点的DFT的计算，由此可以减小DFT计算的乘法的个数。

  下面是一个8个点的FFT的计算的方式，可以看到，通过使用FFT，能够实现DFT计算结构的复用。由此减小了运算量。

  若将前面的前面的DFT计算进一步细分，那么可以进一步较少乘法的计算量。FFT的计算的核心就是，找出画出这个蝶形图。

参考：

深入浅出数字信号处理

最后

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