1.矩阵对角化（Diagonalizing a Matrix）

笔记参考来源：Visualizing Diagonalization & Eigenbases

1.1 对角矩阵的优点

对角矩阵优点1：

我们观察到对角矩阵只是对标准基进行了缩放，而没有进行旋转（这里的性质和特征向量有些类似！！！）这大大提高了线性变换的确定性（尤其对于高维空间中的线性变换），同时也大大简化了计算量

对角矩阵优点2：

特别容易求出对角矩阵的逆矩阵

1.2 求解一般矩阵的特征值和特征向量

我们将一般矩阵化为对角矩阵

我们观察到一般矩阵相较于对角矩阵，其线性变换较为复杂

我们求出上述矩阵的特征向量和特征值

求解矩阵的特征向量、特征值
方法一：
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}5/4& 3/4\\ 3/4& 5/4\end{array}\right] \\ A\vec{x}=\lambda \vec{x} \\ (A-\lambda I)\vec{x}=\vec{0} \\ A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}5/4-\lambda & 3/4\\ 3/4& 5/4-\lambda \end{array}\right] \\ det(A-\lambda I)=0 \\ det(A-\lambda I)=(\frac{5}{4}-\lambda {)}^2-(\frac{3}{4}{)}^2=0 \\ {\lambda }_1=\frac{1}{2}、{\lambda }_2=2 \\ A{\vec{x}}_1=\frac{1}{2}{\vec{x}}_1、A{\vec{x}}_2=2{\vec{x}}_2 \\ \left[\begin{array}{cc}5/4& 3/4\\ 3/4& 5/4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]、\left[\begin{array}{cc}5/4& 3/4\\ 3/4& 5/4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ a_4\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ a_4\end{array}\right] \\ {a}_1=-a_2、a_3=a_4 \\ Wetake{a}_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1 \\ {\vec{x}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]、{\vec{x}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$
方法二：
$$\begin{gathered} A=\left[\begin{array}{cc}5/4& 3/4\\ 3/4& 5/4\end{array}\right] \\ detA=(\frac{5}{4}{)}^2-(\frac{3}{4}{)}^2=1={\lambda }_1{\lambda }_2 \\ trA=\frac{5}{4}+\frac{3}{4}=\frac{5}{2}={\lambda }_1+{\lambda }_2 \\ \{\begin{array}{l}{\lambda }_1{\lambda }_2=1\\ {\lambda }_1+{\lambda }_2=\frac{5}{2}\end{array} \\ {\lambda }_1=\frac{1}{2}、{\lambda }_2=2 \\ A{\vec{x}}_1=\frac{1}{2}{\vec{x}}_1、A{\vec{x}}_2=2{\vec{x}}_2 \\ \left[\begin{array}{cc}5/4& 3/4\\ 3/4& 5/4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\end{array}\right]、\left[\begin{array}{cc}5/4& 3/4\\ 3/4& 5/4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ a_4\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}{a}_3\\ a_4\end{array}\right] \\ {a}_1=-a_2、a_3=a_4 \\ Wetake{a}_1=-1、a_2=1、a_3=1、a_4=1 \\ {\vec{x}}_1=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]、{\vec{x}}_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

1.3 矩阵对角化

特征向量矩阵 $X$
$$X=[{\vec{x}}_1{\vec{x}}_2]=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$$

特征值矩阵 $\Lambda$
$$\Lambda =\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1/2\end{array}\right]$$
特征向量矩阵的逆矩阵 $X^{-1}$

$$X^{-1}=\frac{1}{detX}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -1/2& 1/2\end{array}\right]$$

将矩阵$A$ 进行分解
$$A=X\Lambda X^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -1/2& 1/2\end{array}\right]$$

其中 $X$ 是由矩阵的各个特征向量组成的矩阵、 $\Lambda$ 是由矩阵的各个特征值组成的

对矩阵 $X、\Lambda 、X^{-1}$ 对应的线性变换过程的可视化

矩阵 $X^{-1}$ 将特征向量转换到了标准基的位置（我们将此时的特征向量称其为特征基）

矩阵 $\Lambda$ 将特征基缩放了特征值大小

矩阵 $X$ 将缩放后的特征基转换到特征向量的原本位置（原标准基的坐标系下）

1.4 计算 $A^k$

例子：

1.5 矩阵对角化的注意事项

可逆性与可对角化性无关！！！

最后

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