题目

Luogu

思路

之前 $T$ 神用生成函数讲过，可惜不会了。。。
记录 $i$ 达成条件时间为 $s_i$,抽中概率为 $a_i$，集合为 $S$
也就是求 $E(max(S))$
那么容斥可得
$$E(max(S))=\sum _{T\subseteq S,T\ne \varphi }(-1{)}^{|T|-1}E(min(T))$$

然后我就不会了
发现此时操作次数是有限的
考虑期望定义

$$E(min(T))=\sum _{C,有且仅有一个i,max(C)=B_i}{p}_C\ast \sum C_i$$
$$=\sum _{C,有且仅有一个i,max(C)=B_i}{p}_1{p}_2...p_t\ast \sum C_i$$
$$=\sum _{C,\forall i,C_i<B_i}{p}_1{p}_2...p_w\ast C_i$$
也就是到达每个状态的概率乘权值
转化成 $C<B$ 的类似期望的东西之和
根据期望线性性拆分可得
对于 $T$ 的一个方案 $C$，它的贡献为(此时右边 $a_i=suma\ast a_i$ 也可以，因为会约掉)：

$$E(C|T)=\frac{suma}{{\sum }_{i\in T}{a}_i}\cdot \frac{(\sum c_i)!\ast {\prod }_{i\in T}\frac{a_i^{c_i}}{c_i!}}{({\sum }_{i\in T}{a}_i{)}^{\sum c_i}}$$
注意后面代表选择 $T$ 情况抽出 $C$ 的概率，但此时权值是抽中 $T$ 中 $1$ 次的期望次数，而不是 $1$
发现只和 $\sum a_i，\sum c_i$ 有关
定义状态 $f_{i,j,k}：前i个选择a_i和为j，选了k个的乘积和$：、
转移时间复杂度为 $\sum A_i\ast (\sum B_i{)}^2$
对于 $i,j,k$ 转移次数是 $B_i$ 次

代码

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
int read(){
	int f=0,x=0;char c=getchar();
	while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=1;c=getchar();}
	while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return !f?x:-x;
}
#define mp make_pair
const int MAXN=400;
const int Mod=998244353;
int A[MAXN+5],B[MAXN+5];
int f[MAXN+5][MAXN+5];
int Add(int x,int y){x+=y;return x>=Mod?x-Mod:x;}
int Sub(int x,int y){x-=y;return x<0?x+Mod:x;}
int Mul(LL x,int y){x*=y;return x>=Mod?x%Mod:x;}
int Pow(int x,int y){
	int ret=1;
	while(y){
		if(y&1) ret=1ll*ret*x%Mod;
		x=1ll*x*x%Mod,y>>=1;
	}
	return ret;
}
int fac[MAXN+5],inv[MAXN+5];
int main(){//f[i][j][k]:前i个选j个概率和为k的期望系数
	int n=read(),s=0;
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=400;i++)
		fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%Mod;
	inv[400]=Pow(fac[400],Mod-2);
	for(int i=399;i>=0;i--)
		inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%Mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		A[i]=read(),B[i]=read(),s+=A[i];
	f[0][0]=Mod-1;
	for(int i=1,sb=B[1];i<=n;i++,sb+=B[i])
		for(int j=s;~j;j--)
			for(int k=sb;~k;k--)
				if(f[j][k])
					for(int l=0,t=1;l<B[i];l++,t=Mul(t,A[i]))
						f[j+A[i]][k+l]=Sub(f[j+A[i]][k+l],Mul(t,Mul(inv[l],f[j][k])));
	int ans=0;
	for(int j=1;j<=s;j++)
		for(int k=0,p=Pow(j,Mod-2),t=1,w=Mul(s,Pow(j,Mod-2));k<=400;k++,t=Mul(t,p))
			ans=Add(ans,Mul(Mul(Mul(f[j][k],t),w),fac[k]));
    printf("%dn",ans);
	return 0;
}

最后

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