2023秋招算法题每日学习（4）

DAY 4

1.AcWing 850. Dijkstra求最短路 ii

考察点：堆优化Dijkstra，求最短路问题 适合于稀疏图，利用邻接表来存储

邻接表不需要对重边做特殊的处理

（1）基础知识

时间复杂度分析：

堆优化Dijkstra

堆优化版Dijkstra与朴素版的区别主要就是在用寻找最小距离t时采用堆的方式来实现。堆其实看做是一种完全二叉树的数组对象，是最高效的优先级队列，分为小根堆和大根堆。

堆的实现方式：

优先队列：（可以解决一些贪心问题，以及Dijkstra的优化问题）

      1.  priority_queue(优先队列)，底层是用堆的数据结构来实现，队首元素为队列中优先级最高的一个，在插入数据时，采用冗余的实现方式，优先队列底层的数据结构堆（heap）会随时调整结构。

       2. 使用时需要添加#include<queue>,using namespace std;

        其定义写法为priority_queue<typename>name;

       3.  优先队列只能通过top()函数来访问队首元素，优先级最高（堆顶元素），没有front(),back()函数，具有push(),top(),empty().q.size();

       4. 队列内优先级设置：priority_queue<int,vector<int>,less<int>>q

        队首是优先级最高的，参数2 vector<int>是承载底层数据结构堆的容器，可以根据类型修改vector的数据类型，参数3是对第一个参数的比较类，less<int>表示数字大的优先级越大（大根堆），great<int>表示数字小的优先级越大（小根堆） 

最终题解代码

#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using  namespace std;

typedef pair<int,int>PII;//第一个参数存储距离起点的距离，第二个参数存储是第几个数

const int N = 1e6+10;

int n, m;
int h[N],e[N],ne[N],w[N],idx;//为稀疏图，所以采用邻接表来存储，w[N]为权重
int dist[N];//用于记录每一个点距离第一个点的距离
bool st[N];//用于记录该点的最短距离是否已经确定

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx] = b,w[idx] = c,ne[idx] = h[a],h[a] = idx++;
}

int Dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f,sizeof dist); //初始化距离  0x3f代表无限大
    dist[1] = 0;//第一个点到自身的距离为0
    priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;//采用小根堆
    heap.push({0,1});
    while(heap.size())
    {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        
        int ver = t.second, distance = t.first;//以t为中转站,依次更新每个点所到相邻的点路径值
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;//遍历t
        for(int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
        {
           int j = e[i];
           if (dist[j] > dist[ver] + w[i])
            {
                dist[j] = dist[ver] + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
        
    }
    
    if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;  //如果第n个点路径为无穷大即不存在最低路径
    return dist[n];
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(h, -1, sizeof h);//初始化邻接表
    while(m--)
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a,b,c);//不需要考虑重边
    }
    printf("%dn", Dijkstra());

    return 0;
}

2..AcWing 853. 有边数限制的最短路

考察点：bellman-ford(权重存在负数)

（1）bellman-ford的存储f方式非常多，可以使用邻接表，也可以使用结构体来存储图

（2）Bellman - ford 算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法，效率较低，代码难度较小。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在 n-1 次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。
(通俗的来讲就是：假设 1 号点到 n 号点是可达的，每一个点同时向指向的方向出发，更新相邻的点的最短距离，通过循环 n-1 次操作，若图中不存在负环，则 1 号点一定会到达 n 号点，若图中存在负环，则在 n-1 次松弛后一定还会更新)

（3）bellman - ford算法的具体步骤
for n次
for 所有边 a,b,w (松弛操作)
dist[b] = min(dist[b],back[a] + w)

注意：back[] 数组是上一次迭代后 dist[] 数组的备份，由于是每个点同时向外出发，因此需要对 dist[] 数组进行备份，若不进行备份会因此发生串联效应，影响到下一个点

 注：能求出来最短路的情况下是没有负权回路的（spfa）,bellman-ford是可能的

（5） 时间复杂度：O（nm） 在题目中如果有对边数进行限制的时候，只能使用bellman-ford算法，其他情况下一般都可以被性能更好的算法替换。

需要注意在t对后续点进行更新的时候，需要备份，防止发生距离串联，影响边数限制。

（6）strcpy和memcpy主要有以下3方面的区别。

复制的内容不同。strcpy只能复制字符串，而memcpy可以复制任意内容，例如字符数组、整型、结构体、类等。
复制的方法不同。strcpy不需要指定长度，它遇到被复制字符的串结束符""才结束，如果空间不够，就会引起内存溢出。memcpy则是根据其第3个参数决定复制的长度。
用途不同。通常在复制字符串时用strcpy，而需要复制其他类型数据时则一般用memcpy，由于字符串是以“”结尾的，所以对于在数据中包含“”的数据只能用memcpy。
void *memcpy(void *dest,const void *src,size_t count);

函数说明：memcpy()用来拷贝src所指内容的内存前的count个字节到dest所指的内存地址上，memcpy会赋值完整的count个字节，不会因为遇到字符串结束''而结束

最终解题代码：

注：为什么是dist[n]>0x3f3f3f3f/2， 而不是dist[n]>0x3f3f3f3f
        5号节点距离起点的距离是无穷大，利用5号节点更新n号节点距离起点的距离，将得到109−2109−2, 虽然小于109109, 但并不存在最短路，(在边数限制在k条的条件下)。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 510,M = 10010;

struct Edge
{
    int a,b,c;
}edges[M];//把每个边保存下来，将自定义的结构体放入到数组中方便维护

int dist[N];
int last[N];//备份数据防止串联
int n,m,k;//k代表最多限制经过k条边

void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++) //k次循环
    {
        memcpy(last, dist, sizeof dist);//备份未更新前的数据
        for (int j = 0; j < m; j++) //遍历所有边
        {
            auto e = edges[j];
            dist[e.b] = min(dist[e.b], last[e.a] + e.c); //使用back:避免给a更新后立马更新b, 这样b一次性最短路径就多了两条边出来
        }
    }
   
}

int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    for (int i = 0; i < m; i++) 
    {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        edges[i] = {a, b, c};
    }
    bellman_ford();
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) puts("impossible");
    else printf("%dn", dist[n]);

    return 0;
}

最后

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