矩阵论笔记（三）——欧氏空间与正交变换

包括两种内积空间：

（1）实内积空间（欧氏空间）
（2）复内积空间（酉空间）

本节讲欧氏空间，包括四个部分：

（1）欧氏空间
（2）正交性
（3）正交变换与正交矩阵
（4）对称变换与对称矩阵

欧氏空间

欧氏空间即是实内积空间

定义：

（1）欧氏空间：实数域上的 V 定义两向量到实数的映射 (x,y)，满足交换律、分配率、齐次性、非负性，称为内积，V 称为内积空间或欧氏空间；
（2）相关定义：度量矩阵（Gram 矩阵、基两两内积），度量矩阵下 $(x,y) = xi^TAeta$，其中 $xi,eta$ 为坐标，长度（模、范数）、单位向量、单位化/规范化），夹角 <x,y>=arccos(x,y)∥x∥∥y∥ <script type="math/tex" id="MathJax-Element-3"> = text{arccos}frac{(x,y)}{|x||y|}</script>；
（3） 不等式：三角不等式 $|x+y|leq |x| + |y|$， $|(x,y)|leq |x||y|$。

结论：

（1）合同：同一线性空间不同基的度量矩阵是合同的 $B = C^T AC$。

正交性

内积为零称为成交。

• 定义：

  （1）正交性：两向量正交/垂直、零向量与任何向量正交，正交向量组，正交基、标准正交基、单位坐标向量，标准正交基的坐标可由内积表达出来 $x = (x,x_1)x_1 + cdots + (x,x_n)x_n$，正交单位化/规范化，正交补空间（$V^n$ 中所有与 $V_1$ 正交的向量的集合），齐次方程组的解空间是系数向量组的正交补空间；
  （2）相关结论：
     ① $x perp y$，则 $|x + y|^2 = |x|^2 + |y|^2$；
     ② 正交向量组必线性无关；
     ③ 标准正交基的充要条件是其度量矩阵为单位阵；
     ④ 任一非零欧氏空间都有正交基和标准正交基；
     ⑤ 若 $x_1,cdots,x_m$ 与 $y$ 正交，则其线性组合也与 $y$ 正交；
     ⑥ $y$ 与 $V_1$ 正交的充要条件是 $y$ 与 $V_1$ 的每个基正交；
     ⑦ $V^n = V_1 oplus V_1^{perp}$，$text{dim}V_1 + text{dim}V_1^{perp} = n$；
     ⑧ $R^{perp}(A) = N(A^T), R^{perp}(A^T) = N(A), R(A)oplus N(A^T) = mathbb{R}^m, R(A^T)oplus N(A) = mathbb{R}^n$，复数域中 $A^T$ 改成 $A^H$ 同样成立。

（证明 ⑧：$R^{perp}(A) = {y| y perp k_1 alpha_1 + cdots + k_nalpha_n}$ $= {y| yperp alpha_j, j=1,cdots,n}$ $= {y| alpha_j^T y = 0} = {y| A^T y = 0}$ $= N(A^T)$）。

• 计算：

  （1）标准正交基：① 取一组基；② Schmidt 正交化；③ 单位化。

正交变换与正交矩阵

使向量长度不变的变换，即是正交变换。

• 定义：

（1）正交变换：正交变换 $(x,x) = (Tx,Tx)$、充要条件为 $(x,y) = (Tx,Ty)$（证：用 $(x-y, x-y) = (T(x-y),T(x-y))$），正交矩阵（$Q^TQ = I$ 或 $Q^T = Q^{-1}$）、充要条件是其列向量为两两正交的单位向量；
（2）充要条件：$T$ 是正交变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是正交矩阵（注意，对于非标准正交基，$T$ 的矩阵不一定是正交阵）；
（3）推论：正交矩阵非奇异；交阵的乘积、逆仍是正交阵；正交变换的乘积、逆仍是正交变换；标准正交基的过渡矩阵为正交阵。

对称变换与对称矩阵

实对称阵的特征值必是实数，且不同特征值的特征向量必正交。

• 定义：

（1）对称变换：$(Tx,y) = (x,Ty)$， T <script type="math/tex" id="MathJax-Element-37">T</script> 是对称变换的充要条件是其对于标准正交基的矩阵是实对称矩阵；
（2）相关结论：① 实对称矩阵的特征值都是实数；② 实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。

最后

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