欧几里得空间——标准正交基

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我是靠谱客的博主淡定世界，最近开发中收集的这篇文章主要介绍欧几里得空间——标准正交基，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

定义5

欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。

1.由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组。

2.正交向量组是线性无关的。

3.在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量不能超过n个。

定义6

在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。

一组基为标准正交基的充要条件是：它的度量矩阵为单位矩阵。因为度量矩阵是正定的，正定矩阵合同于单位矩阵，这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩阵是单位矩阵。

在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积简单地表示出来，即 $alpha =(varepsilon _1,alpha )varepsilon _1+(varepsilon _2,alpha )varepsilon _2+...+(varepsilon _n,alpha )varepsilon _n$ 事实上，设 $alpha =x_1varepsilon _1+x_2varepsilon _2+...+x_nvarepsilon _n.$ 用 $varepsilon _i$ 与等式两边作内积，即得 $x_i=(varepsilon _i,alpha )(i=1,2,...,n).$ 在标准正交基下，内积有特别简单的表达式，设 $alpha =x_1varepsilon _1+x_2varepsilon _2+...+x_nvarepsilon _n,$ $beta =y_1varepsilon _1+y_2varepsilon _2+...+y_nvarepsilon _n.$ 那么 $(alpha ,beta )=x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n.$

下面结合内积的特点来讨论标准正交基的求法。

定理1

n维欧氏空间中任一正交向量组都能扩充成一组正交基。

定理2

对于n维欧氏空间中任意一组基 $varepsilon _1,varepsilon _2,...,varepsilon _n,$ 都可以找到一组标准正交基 $eta _1,eta _2,...,eta _n,$ 使 $L(varepsilon _1,varepsilon _2,...,varepsilon _n)=L(eta _1,eta _2,...,eta _n),i=1,2,...,n.$

应该指出，定理中的要求 $L(varepsilon _1,varepsilon _2,...,varepsilon _n)=L(eta _1,eta _2,...,eta _n),i=1,2,...,n.$ 就相当于由基 $varepsilon _1,varepsilon _2,...,varepsilon _n$ 到基 $eta _1,eta _2,...,eta _n$ 的过渡矩阵式上三角形的。

例：把 $alpha _1=(1,1,0,0),$ $alpha _2=(1,0,1,0),$ $alpha _3=(-1,0,0,1),$ $alpha _4=(1,-1,-1,1)$ 变成单位正交的向量组。

解：先把它们正交化，得 $beta _1=alpha _1=(1,1,0,0),$

$beta _2=alpha _2-frac{(alpha _2,beta _1)}{(beta _1,beta _1)}beta _1=(frac{1}{2},-frac{1}{2},1,0),$

$beta _3=alpha _3-frac{(alpha _3,beta _1)}{(beta _1,beta _1)}beta _1-frac{(alpha _3,beta _2)}{(beta _2,beta _2)}beta _2=(-frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3},1),$

$beta _4=alpha _4-frac{(alpha _4,beta _1)}{(beta _1,beta _1)}beta _1-frac{(alpha _4,beta _2)}{(beta _2,beta _2)}beta _2-frac{(alpha _4,beta _3)}{(beta _3,beta _3)}beta _3=(1,-1,-1,1).$

再单位化，得 $eta _1=(frac{1}{sqrt{2}},frac{1}{sqrt{2}},0,0),$

$eta _2=(frac{1}{sqrt{6}},-frac{1}{sqrt{6}},frac{2}{sqrt{6}},0),$

$eta _3=(-frac{1}{sqrt{12}},frac{1}{sqrt{12}},frac{1}{sqrt{12}},frac{3}{sqrt{12}}),$

$eta _4=(frac{1}{2},-frac{1}{2},-frac{1}{2},frac{1}{2}).$