UA OPTI512R 傅立叶光学导论6 Dirac函数及其性质

Dirac函数

在工程科学中，Dirac函数通常用来表示脉冲，所以也被称为脉冲函数，这一讲讨论Dirac函数的正式定义与常用性质。

定义 引入$sinc$函数，
$$sinc(x)=\frac{\sin \pi x}{\pi x}$$

定义Dirac函数为
$$\delta (x)=\underset{b\to 0}{\lim }\frac{1}{|b|}sinc\left(\frac{x}{b}\right)$$

这个定义非常有用，当需要推导Dirac函数的相关结论时，我们总是可以从这个定义出发，比如因为$sinc$函数是偶函数，所以Dirac函数也是偶函数，
$$\delta (-x)=\delta (x)$$

另外，虽然这里的定义用的是sinc函数，但实际上也可以用rect、gaus等随着scale趋于0，函数值全部集中在原点处的函数去定义Dirac函数。

性质1（sifting property）
对任意well-behaved function $f(x)$，
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0){\chi }_{(x_1,x_2)}(x_0)$$

$x_0\in (x_1,x_2)$时${\chi }_{(x_1,x_2)}(x_0)=1$，否则${\chi }_{(x_1,x_2)}(x_0)=0$。如果$f(x)$恒等于1，则
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\delta (x-x_0)dx={\int }_{x_1}^{x_2}\delta (x-x_0)dx=1$$

这说明Dirac函数围成的面积为1。并且由于
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0){\chi }_{(x_1,x_2)}(x_0)={\int }_{x_1}^{x_2}f(x_0)\delta (x-x_0)dx$$

与Dirac函数的乘积可以被简化为
$$f(x)\delta (x-x_0)=f(x_0)\delta (x-x_0)$$

比如
$$\begin{gathered} x\delta (x-x_0)=x_0\delta (x-x_0) \\ \delta (x)\delta (x-x_0)=\delta (x_0)\delta (x-x_0) \end{gathered}$$

但是还是要谨慎一点，因为$\delta (x_0)\delta (x-x_0)$不管怎么想都有点违和，当$x_0\ne 0$时，$\delta (x_0)\delta (x-x_0)=0$，而当$x_0=0$时，Dirac函数是不定型$\infty \cdot \infty$，所以这个等式并不成立。

性质2（scaling property）
对任意well-behaved function $f(x)$，
$$\begin{gathered} {\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\delta \left(\frac{x-x_0}{b}\right)dx{=}_{u=x/b}{\int }_{x_1}^{x_2}f(bu)\delta \left(u-\frac{x_0}{b}\right)d(|b|u) \\ =|b|f\left(b\cdot \frac{x_0}{b}\right)=|b|f(x_0) \end{gathered}$$

根据性质1，
$${\int }_{x_1}^{x_2}f(x)\delta \left(\frac{x-x_0}{b}\right)dx={\int }_{x_1}^{x_2}f(x)[|b|\delta (x-x_0)]dx$$

所以
$$\delta \left(\frac{x-x_0}{b}\right)=|b|\delta (x-x_0)$$

scaling换一种形式来写也是一样的，比如$a>0$，
$$\delta (ax-x_0)=\delta \left(\frac{x-\frac{x_0}{a}}{a}\right)=\frac{1}{|a|}\delta \left(x-\frac{x_0}{a}\right)$$

Comb函数

定义Comb函数为
$$comb(x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (x-n)$$

根据Dirac函数的性质2，
$$comb\left(\frac{x}{b}\right)=|b|\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta (x-nb)$$

Comb函数一个很重要的作用是采样，假设一个连续波形为$f(x)$，计算
$$\begin{gathered} f(x)\left(\frac{1}{|b|}comb\left(\frac{x}{b}\right)\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f(x)\delta (x-nb) \\ =\sum _{n=-\infty }^{+\infty }f(nb)\delta (x-nb) \end{gathered}$$

这样就从这个波形中采样得到了一个离散信号 { f ( n b ) } {f(nb)} {f(nb)}。

涉及Dirac函数的微分与积分

先考虑Dirac函数的原函数，
$$u(x)={\int }_{-\infty }^x\delta (\alpha )d\alpha ={\chi }_{(0,+\infty )}(x)$$

这其实就是上一讲定义的step function，阶跃函数，但是阶跃函数在$x=0$处的取值实际上可以取$[0,1]$上的任意值，所以阶跃函数的含义比$u(x)$更宽泛，但是不管阶跃函数在原点处取值是什么，它的导数总是等于Dirac函数的
$$\delta (x)=\frac{d}{dx}step(x)=\frac{d}{dx}u(x)$$

接下来讨论Dirac函数的导数，先把记号叙述一下，
$$\frac{d}{dx}\delta (x)={\delta }^{\prime }(x),\frac{d^n}{d{x}^n}\delta (x)={\delta }^{(n)}(x)$$

它们分别代表Dirac函数的一阶导数和$n$阶导数，虽然可以根据$\delta (x)$的定义写出${\delta }^{\prime }(x)$的定义
$${\delta }^{\prime }(x)=\underset{b\to 0}{\lim }\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{|b|}sinc\left(\frac{x}{b}\right)\right)$$

但它们有什么意义呢？我们从积分的角度理解一下，假设$f(x)$是一个良定义的有界可微函数，$x_0<\infty$
$$\begin{gathered} {\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\delta }^{\prime }(x-x_0)dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)d\delta (x-x_0) \\ =f(x)\delta (x-x_0){|}_{-\infty }^{+\infty }-{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{\prime }(x)\delta (x-x_0)dx \\ =-{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}^{\prime }(x)\delta (x-x_0)dx=-f^{\prime }(x_0) \end{gathered}$$

可以自行验证
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x){\delta }^{(n)}(x-x_0)dx=(-1{)}^n{f}^{(n)}(x)$$

最后

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