【课后习题】 线性代数第六版第二章 矩阵及其运算 习题二

习题二

1. 计算下列乘积:

(1) $\left(\begin{array}{rrr}4& 3& 1\\ 1& -2& 3\\ 5& 7& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}7\\ 2\\ 1\end{array}\right)$;

(2) $(1,2,3)\left(\begin{array}{l}3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$;

(3) $\left(\begin{array}{l}2\\ 1\\ 3\end{array}\right)(-1,2)$;

(4) $\left(\begin{array}{rrrr}2& 1& 4& 0\\ 1& -1& 3& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1& 3& 1\\ 0& -1& 2\\ 1& -3& 1\\ 4& 0& -2\end{array}\right)$;

(5) $\left(x_1,x_2,x_3\right)\left(\begin{array}{lll}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{12}& a_{22}& a_{23}\\ a_{13}& a_{23}& a_{33}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$.

2. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}1& 1& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& -1& 1\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& 3\\ -1& -2& 4\\ 0& 5& 1\end{array}\right)$, 求 $3\mathbf{A}\mathbf{B}-2\mathbf{A}$ 及 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}$.

3. 已知两个线性变换

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=2y_1+y_3,\\ x_2=-2y_1+3y_2+2y_3,\\ x_3=4y_1+y_2+5y_3,\end{array}\{\begin{array}{l}{y}_1=-3z_1+z_2,\\ y_2=2z_1+z_3,\\ y_3=-z_2+3z_3,\end{array}$$
求从 $z_1,z_2,z_3$ 到 $x_1,x_2,x_3$ 的线性变换.

4. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$, 问 :

(1) $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$ 吗?

(2) $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$ 吗?

(3) $(\mathbf{A}+\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathbf{B})={\mathbf{A}}^2-{\mathbf{B}}^2$ 吗?

5. 举反例说明下列命题是错误的:

(1) 若 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{O}$, 则 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$;

(2) 若 ${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$, 则 $\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 或 $\mathbf{A}=\mathbf{E}$;

(3) 若 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\mathbf{A}\mathbf{Y}$, 且 $\mathbf{A}\ne \mathbf{O}$, 则 $\mathbf{X}=\mathbf{Y}$.

6. （1） 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}1& 0\\ \lambda & 1\end{array}\right)$, 求 ${\mathbf{A}}^2,{\mathbf{A}}^3,\cdots ,{\mathbf{A}}^k;$ （2）设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right)$, 求 ${\mathbf{A}}^4$.

7. (1) 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rr}3& 1\\ 1& -3\end{array}\right)$, 求 ${\mathbf{A}}^{50}$ 和 ${\mathbf{A}}^{51}$;

（2）设 $\mathbf{a}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ -3\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{l}1\\ 2\\ 4\end{array}\right),\mathbf{A}=\mathbf{a}{\mathbf{b}}^{\mathrm{T}}$, 求 ${\mathbf{A}}^{100}$.

8. （1）设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\mathbf{A}$ 为对称矩阵,证明 ${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{B}$ 也是对称矩阵;

(2) 设 $\mathbf{A},\mathbf{B}$ 都是 $n$ 阶对称矩阵,证明 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 是对称矩阵的充分必要条件是 $\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}$.

9. 求下列矩阵的逆矩阵:

(1) $\left(\begin{array}{ll}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right)$;

(2) $\left(\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

(3) $\left(\begin{array}{rrr}1& 2& -1\\ 3& 4& -2\\ 5& -4& 1\end{array}\right)$;

(4) $\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& & & 0\\ & a_2& & \\ & & \ddots & \\ 0& & & a_n\end{array}\right)\left(a_1{a}_2\cdots a_n\ne 0\right)$.

10. 已知线性变换

$$\{\begin{array}{l}{x}_1=2y_1+2y_2+y_3,\\ x_2=3y_1+y_2+5y_3,\\ x_3=3y_1+2y_2+3y_3,\end{array}$$
求从变量 $x_1,x_2,x_3$ 到变量 $y_1,y_2,y_3$ 的线性变换.

11. 设 $\mathbf{J}$ 是元素全为 1 的 $n(⩾2)$ 阶方阵. 证明 $\mathbf{E}-\mathbf{J}$ 是可逆方阵, 且 $(\mathbf{E}-\mathbf{J}{)}^{-1}=\mathbf{E}-\frac{1}{n-1}\mathbf{J}$, 这 里 $\mathbf{E}$ 是与 $\mathbf{J}$ 同阶的单位矩阵.

12. 设 ${\mathbf{A}}^k=\mathbf{O}$ ( $k$ 为正整数 ), 证明

$$(\mathbf{E}-\mathbf{A}{)}^{-1}=\mathbf{E}+\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2+\cdots +{\mathbf{A}}^{h-1}.$$

13. 设方阵 $\mathbf{A}$ 满足 ${\mathbf{A}}^2-\mathbf{A}-2\mathbf{E}=\mathbf{O}$, 证明 $\mathbf{A}$ 及 $\mathbf{A}+2\mathbf{E}$ 都可逆, 并求 ${\mathbf{A}}^{-1}$ 及 $(\mathbf{A}+2\mathbf{E}{)}^{-1}$.

14. 解下列矩阵方程 :

(1) $\left(\begin{array}{ll}2& 5\\ 1& 3\end{array}\right)\mathbf{X}=\left(\begin{array}{rr}4& -6\\ 2& 1\end{array}\right)$

(2) $X\left(\begin{array}{rrr}2& 1& -1\\ 2& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}1& -1& 3\\ 4& 3& 2\end{array}\right)$;

(3) $\left(\begin{array}{rr}1& 4\\ -1& 2\end{array}\right)\mathbf{X}\left(\begin{array}{rr}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}3& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$;

(4) $\mathbf{A}\mathbf{X}\mathbf{B}=\mathbf{C}$, 其中 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}2& 1\\ 5& 4\end{array}\right),\mathbf{B}=\left(\begin{array}{lll}1& 3& 3\\ 1& 4& 3\\ 1& 3& 4\end{array}\right),\mathbf{C}=\left(\begin{array}{rrr}1& 0& -1\\ 1& -2& 0\end{array}\right)$.

15. 分别应用克拉默法则和逆矩阵解下列线性方程组:

(1) $\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+3x_3=1,\\ 2x_1+2x_2+5x_3=2\\ 3x_1+5x_2+x_3=3;\end{array}$

(2) $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=2,\\ x_1+2x_2+4x_3=3,\\ x_1+3x_2+9x_3=5.\end{array}$

16. 设 $\mathbf{A}$ 为 3 阶矩阵, $|\mathbf{A}|=\frac{1}{2}$, 求 $\left|(2\mathbf{A}{)}^{-1}-5{\mathbf{A}}^{\ast }\right|$.

17. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrr}0& 3& 3\\ 1& 1& 0\\ -1& 2& 3\end{array}\right),\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}+2\mathbf{B}$, 求 $\mathbf{B}$.

18. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$, 且 $\mathbf{A}\mathbf{B}+\mathbf{E}={\mathbf{A}}^2+\mathbf{B}$, 求 $\mathbf{B}$.

19. 设 $\mathbf{A}=\mathrm{diag}(1,-2,1),\mathbf{A}{}^{\ast }\mathbf{B}\mathbf{A}=2\mathbf{B}\mathbf{A}-8\mathbf{E}$, 求 $\mathbf{B}$.

20. 已知矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵 ${\mathbf{A}}^{\ast }=\mathrm{diag}(1,1,1,8)$, 且 $\mathbf{A}\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}=\mathbf{B}{\mathbf{A}}^{-1}+3\mathbf{E}$, 求 $\mathbf{B}$.

21. 设 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{\Lambda }$, 其中 $\mathbf{P}=\left(\begin{array}{rr}-1& -4\\ 1& 1\end{array}\right),\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{rr}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, 求 ${\mathbf{A}}^{11}$.

22. 设 $\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{P}\mathbf{\Lambda }$, 其中

$$\mathbf{P}=\left(\begin{array}{rrr}1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right),\mathbf{\Lambda }=\left(\begin{array}{lll}-1& & \\ & 1& \\ & & 5\end{array}\right)\text{, 求 }\phi (\mathbf{A})={\mathbf{A}}^8\left(5\mathbf{E}-6\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^2\right)\text{. }$$

23. 设矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆, 证明其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 也可逆, 且 ${\left(A^{\ast }\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{\ast }$.

24. 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 的伴随矩阵为 ${\mathbf{A}}^{\ast }$, 证明:

(1) 若 $|\mathbf{A}|=0$,则 $\left|{\mathbf{A}}^{\ast }\right|=0$;

(2) $\left|{\mathbf{A}}^{\ast }\right|=|\mathbf{A}{|}^{n-1}$.

25. 计算 $\left(\begin{array}{llll}1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 0& 2& 1\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrrr}1& 0& 3& 1\\ 0& 1& 2& -1\\ 0& 0& -2& 3\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right)$.

26. 设 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{rrrr}3& 4& 0& 0\\ 4& -3& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 2& 2\end{array}\right)$, 求 $\left|{\mathbf{A}}^8\right|$ 及 ${\mathbf{A}}^4$.

27. 设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 及 $s$ 阶矩阵 $\mathbf{B}$ 都可逆,求 ${\left(\begin{array}{ll}\mathbf{O}& \mathbf{A}\\ \mathbf{B}& \mathbf{O}\end{array}\right)}^{-1}$.

28. 求下列矩阵的逆矩阵:

(1) $\left(\begin{array}{llll}5& 2& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 0& 0& 8& 3\\ 0& 0& 5& 2\end{array}\right)$;

$(2)\left(\begin{array}{lll}0& 0& \frac{1}{5}\\ 2& 1& 0\\ 4& 3& 0\end{array}\right)$.

最后

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