常用的COMSOL操作符和数学函数

d(f,x)

f对x方向的微分

1.       使用d算符来计算一个变量对另一个变量的导数，如：d(T,x)指变量T对x求导,而d(u^2,u)=2*u等；

2.       如果模型中含有任何独立变量，建模中使用d算符会使模型变为非线性；

3.       在解的后处理上使用d算符，可以使用一些预置的变量，如：uxx,d(ux,x),d(d(u,x),x)都是等效的；

4.       pd算符与d算符类似，但对独立变量不使用链式法则；

5.       d(E,TIME)求解表达式E的时间导数；

6.       dtang算符可以计算表达式在边界上的切向微分（d算符无法计算），在求解域上使用dtang等价于d，dtang只求解对坐标变量的微分，但需要注意的是并不是所有的量都有切向微分。

pd(f,x)

f对x方向的微分

pd和d的区别：

d(u+x,x)=ux+1，d(u,t)=ut，u和x,t等有关

pd(u+x,x)=1，pd(u,t)=0，u是独立的和x,t无关

dtang(f,x)

边界上f对x的切向微分

在边界上d(u,x)不能定义，但是可以使用dtang(u,x)，dtang付出基本的微分法则，如乘积法则和链式法则，但是需要指出的是，dtang(x,x)不一定等于1。

test(expr)

试函数

用于方程弱形式的算符，test(F(u,∇u))等价于：

var(expr,fieldname1,

fieldname2, ...)

变异算子

用于弱形式，它和test算符功能相同，但是仅用于某些特定的场中；

如var(F(u,∇u, v,∇v),a)，变量u是a场的变量，而v不是。

试函数之只作用于变量u。

nojac(expr)

对Jacobian矩阵没有贡献

将表达式排除在Jacobian计算外，这对那些对Jacobian贡献不大，但是计算消耗很大的变量是否有效；

k-e 湍流模型就是利用 nojac算符来提高计算性能的例子。

up(expr)

上邻近估算表达式

up，down，mean算符只能用在边界上，对于一个表达式或变量在边界处两边不连续，COMSOL通常显示边界的平均值，使用up，down可计算某个方向上的值。

down(expr)

下邻近估算表达式

mean(expr)

邻近边界上的平均值

depends(expr)

查看某个表达式是否依赖于求解结果

isdefined(variable)

变量是否定义

dest(expr)

在目标端计算积分耦合表达式

dest算符强制将source points上的表达式用在destination points上。

例如：u/((dest(x)-x)^2+(dest(y)-y)^2)

if(cond,expr1,expr2)

条件表达式

例如：if(x==0,1,sin(x)/x)

isinf(expr)

表达式的值是否是无穷大

islinear(expr)

解是否是线性函数

isnan(expr)

表达式是否是非数

with

调用某个解

例如with(3,u^2)指调用解3的u^2用于本次求解；

with只能用于解的后处理，不能用于建模；

at

调用解的某个时间

例如：at(12.5,u)

timeint

表达式的时间积分

timeint(t1,t2,expr,tol,minlen)，t1,t2需要是实数，expr是表达式，tol是容差，默认大小为1e-8，minlen设置积分的最短路径，它需要是正数，默认长度为1e-6。

timeint只能用于解的后处理，不能用于建模；

timeavg

表达式的时间积分平均值

timeavg(t1,t2,expr,tol,minlen)

linpoint

调用线性化点

lindev

计算在线性化点的表达式

当解存储了一个线性化点，那么表达式在线性化点上先线性化，然后用当前的解来计算；

特别的：当f线性依赖于解，那么lindev(f)=f，如果不依赖则lindev(f)=0;

如果解没有线性化点，那么会报错；

lintotal

调用线性化点的和和线性扰动

lintotalavg

在各相中计算平均lintotal

lintotalrms

在各相中计算lintotal的RMS

lintotalrms(f)=sqrt(lintotalavg(abs(f)^2))

lintotalpeak

在各相中计算lintotal的最大值

linsol

调用标准解，如linpoint或lintotal

linzero

计算表达式的根

linper

标记一个荷载项用于线性扰动求解器

ppr

精确的派生修复

用polynomial-preserving recovery计算表达式中所有用lagrange形函数差分的变量，如e=ux+vy

ppr(e^2)=(ppr(ux)+ppr(vy))^2

pprint

在各求解域群中精确派生修复

用这些操作符来计算梯度计算中的离散误差

ux-pprint(ux)

reacf

反应力和反应流的精确积分

用于表面积分，如在结构力学中，u,v与x,y位移有关，用reacf(u),reaf(v)计算x,y方向上的反应力；

reacf在弱贡献中无效；

adj(expr)

用伴随灵敏度计算表达式

fsens(expr)

用函数灵敏度计算表达式

sens(expr,i)

用第二个参数向前灵敏度计算表达式

∂u/∂q=sens(u,q)

realdot(a,b)

两个复数的点积

realdot(a,b), real(a*conj(b))

shapeorder(variable)

差分一个变量使用的单元级数

prev(expr,i)

在i步前计算表达式

向后Euler法： (u-prev(u,1))/timestep

bdf(expr,i)

应用级数为i的向后差分公式

bdf(u,1) = (u-prev(u,1))/timestep

subst(expr,

expr1_orig, ,

expr1_subst,...)

用其他变量或表达式替换一个表达式

subst(hmnf.nutildeinit,p,pin_stat)

circint(r,expr),

circavg(r,expr),

diskint(r,expr),

diskavg(r,expr),

sphint(r,expr),

sphavg(r,expr),

ballint(r,expr),

ballavg(r,expr)

计算在一个特殊的形状，曲率为r时的表达式积分或平均值

scope.ati(coordinate

exprs,expr)

计算表达式在i维下的表达式coordinate exprs值

root.mod1.at1(0,y,dom)在2D的一条边的点(0,y)上计算dom

abs

绝对值

abs(x)

acos

反余弦

acos(x)

acosh

反双曲余弦 (in radians)

acosh(x)

acot

反余切 (in radians)

acot(x)

acoth

反双曲余切 (in radians)

acoth(x)

acsc

反余割 (in radians)

acsc(x)

acsch

反双曲余割 (in radians)

acsch(x)

arg

相位角(in radians)

arg(x)

asec

反正割 (in radians)

asec(x)

asech

反双曲正割 (in radians)

asech(x)

asin

反正弦 (in radians)

asin(x)

asinh

反双曲正弦(in radians)

asinh(x)

atan

反正切 (in radians)

atan(x)

atan2

四象限反正切 (in radians)

atan2(y,x)

atanh

反双曲正切 (in radians)

atanh(x)

besselj

一类Bessel函数

besselj(a,x)

bessely

二类Bessel函数

bessely(a,x)

besseli

一类改性Bessel函数

besseli(a,x)

besselk

二类改性Bessel函数

besselk(a,x)

ceil

上约数

ceil(x)

conj

复共轭

conj(x)

cot

余切

cot(x)

coth

双曲余切

coth(x)

csc

余割

csc(x)

csch

双曲余割

csch(x)

eps

相对精度

eps

erf

误差函数

erf(x)

exp

指数函数

exp(x)

floor

下约数

floor(x)

gamma

Gamma函数

gamma(x)

i,j

虚数单位

i

imag

虚部

imag(u)

inf

无穷

inf

log

自然对数 ln

log(x)

log10

对数，底数为10

log10(x)

log2

对数，底数为2

log2(x)

max

最大值

max(a,b)

min

最小值

min(a,b)

mod

取模

mod(a,b)

NaN,

非数

nan

pi

Pi

pi

psi

Psi函数和它的衍生物

psi(x,k)

range

建立一个数列

range(a,step,b)

real

实部

real(u)

round

四舍五入

round(x)

sec

正割

sec(x)

sech

双曲正割

sech(x)

sign

符号函数

sign(u)

sin

正弦

sin(x)

sinh

双曲正弦

sinh(x)

sqrt

根号

sqrt(x)

tan

正切

tan(x)

tanh

双曲正切

tanh(x)

Time

t

Frequency

freq

Eigenvalues

lambda

Position

x, y, z, r, X, Y, Z, R

Edge/surface parameters

s, s1, s2

Edge/surface normals

n, nx, ny, nz, nr

Edge tangents

tx, ty, tz, tr

Surface tangents

t1x, t1y, t1z, t2x, t2y, t2z

Edge/surface upward normals

un, unx, uny, unz，参考方向的左边

Edge/surface downward normals

dn, dnx, dny, dnz，参考方向的右边

Numerical constants

eps, i, j, pi

Mesh information

h, dom, meshtype, meshelement, dvol, qual, reldetjac, reldetjacmin

flsmhs

y=flsmhs(x,scale)

在阶跃的两端都存在连续过冲的平滑Heaviside函数。

在-scale < x < scale处，flsmhs和flsmsign为7阶多项式，因此它的2阶导数仍然连续；它满足理想Heaviside函数，因此存在一定量的过冲。

flsmsign

y = flsmsign(x,scale)

近似于符号函数y=sign(x)在-scale < x < scale处平滑过渡

flc1hs

不含过冲的一阶连续导数的平滑Heaviside函数，导数fldc1hs

flc2hs

不含过冲的二阶连续导数的平滑Heaviside函数，导数fldc2hs