社交网络度量---中心性

中心性定义了网络中一个结点的重要性。换句话说，我们要求的是，在社会网络中，谁是中心角色（具有影响力的用户）

举个例子，某个明星开通了微博，在短短数小时内，就有几十万的粉丝关注了他的微博。我们可以认为，他的“受欢迎程度”很高。如果把社交网络中的关注行为看做一条有向边，那么受关注的结点一般拥有很高的“入度”，那么我们能够把一个结点的入度看做是结点中心性的度量指标。当然这只是一个最简单的估计方法，还有很多方法能够度量社交网络中各个结点的中心性。

下面简单的介绍下几种中心性的度量方法：

1.度中心性

在真实世界的交互中，我们认为具有很多连接关系的人是很重要的。度中心性(degree centrality)利用了该思想。对于具有更多连接关系的结点，度中心性度量方法认为它们具有更高的中心性。

在无向图中，结点Vi的度中心性是：   其中di是结点vi的度。

在有向图中，我们既可以利用入度（声望）或出度（合群性），也可以将两者之和作为度中心值。

2.特征向量中心性

在度中心性度量中，我们认为具有较多连接的结点更重要。然而在现实中，拥有更多朋友并不能确保这个人就是重要的，拥有更多重要的朋友才能提供更有力的信息。

因此，我们试图用邻居结点的重要性来概括本结点的重要性。设ce(vi)表示结点vi的特征向量中心性，则其求解公式如下：

 其中A是临接矩阵，λ是某个固定的常数。 可以看出这是个递归定义的函数，具体求法的话需要求矩阵特征值，这里就不详细写了

3.Katz中心值

在特征向量中心性度量中，会有这么一个问题：某个点被大量的关注，但是关注该点的点的中心性很低（甚至为0），这样会导致网络中存在被大量关注但中心值却为0的点。

因此，我们需要在特征向量中心性度量的基础上加入一个偏差项（或者说是中心值下限），来解决这个问题。

Katz中心值：  其中α，β为常数

4.PageRank值

Katz在某些情况下存在一些与特征向量中心性相似的问题。在有向图中，一旦一个结点成为一个权威结点（高中心值结点），它将向它所有的外连接传递其中心性，导致其它结点中心性变的很高。但这是不可取的，因为不是每一个被名人所知的人都是有名的（比如科比的小学同学）。

因此我们在katz中心性的基础上，累加时让每一个邻居的中心性除以该邻居结点的出度，这种度量称为PageRank：

5.中间中心性

另一种中心性度量方法是考虑结点在连接其他结点时所表现出的重要性。其中一种方法是计算其他结点间通过结点vi的最短路径的数目：

      其中，segma st 是从结点s到结点t的最短路径数目，segma st (vi) 是从s到t经过vi的最短路径数目。

也就是说，我们在度量结点vi在连接结点s和结点t时所表现的重要性。这种度量方法称为中间中心性（betweenness centrality）

6.接近中心性

接近中心性的思想是结点越趋于中心，它们越能快速地到达其他的结点。更形式化的描述，这些结点满足与其他结点之间有最小的平均最短路径。

接近中心性被定义为：

    其中lvi是结点vi与其他结点之间的平均最短路径。 平均最短路径越小，那么结点的中心性会越高。

目前所讨论的中心性度量方法对于什么是中心结点有不同的观点。一个中心结点在一种度量方法中认为是中心结点，而在其他度量方法中可能不是中心结点。

最后

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