求两条轨迹间的hausdorff距离_21北工大控制考研 | 第四章根轨迹！

星辰师兄，北京工业大学821自动控制原理，成绩135+，并获得国家奖学金。有独家学习方法和规划，并且有专业课辅导经验，821考研全程班20届学员，有很多专业课高分，如学硕第二名(专业课136分)，学员专业课平均分数110+。

教学风格：高效实用，对专业课考试内容有很清晰的总结和分析，熟悉高频考点、重点和难点，对应试方法有独到见解。此外，熟悉学院信息动态和历年考研初试和复试情况等。目前在文彦考研辅导初试专业课“821自动控制原理”(适用于北京工业大学学硕“控制科学与工程”和控制专硕“电子信息”专业)。

今天依然是努力复习的一天

学长为大家带来了第四章的干货总结！

直接进入主题吧~

1.根轨迹定义

开环系统某一参数从时，闭环系统特征方程式的根(闭环极点)在[s]平面变化的轨迹。

[注]：根轨迹是闭环系统特征方程式的根的轨迹。

2.传递函数的标准形式

根轨迹法中开环传递函数的标准形式——零极点形式

K称为开环系统根轨迹增益。

 [注]：变化的参数以规范形式出现在分子上。

3.轨迹绘制的基本规则

根轨迹方程:对于开环传递函数为G(s)H(s)的系统,其闭环特征方程为1±G(s)H(s)=0。式中符号不完全取决于反馈的极性,应视具体问题做具体分析(例如负反馈系统未必是180°根轨迹)。

不失一般性，系统的特征方程总可以整理为:

其中，A为参变量，A从变化。这里A可以是根轨迹增益K*,也可以是开环传递函数中的其他参变量(诸如参数根轨迹)。

当式中符号为“+"时,相应根轨迹为180°根轨迹;当符号为“—”,为0°根轨迹。

绘制条件：

绘制根轨迹的两个基本条件是幅值条件和相角条件。其中相角条件是绘制根轨迹的充要条件，幅值条件通常用来求给定点所对应的参数(K*或其它参数)的值。

具体步骤：

根轨迹绘图法则共有10条。

[1]根轨迹增益Kg在由变化时，s平面上的根轨迹是连续的。

[2]s平面上的根轨迹图是实轴对称的。

[3]根轨迹的分支数等于n，与系统的阶数相等。

[4]根轨迹的起点和终点。

  1) n条根轨迹起始于系统的n个开环极点﹔

  2) n条根轨迹应该终止于系统的n个开环零点﹔

  3)当n > m，n条根轨迹中的m条根轨迹终止于m个有限零点，其余n-m条根轨迹趋于无穷远处。

[5]实轴上的根轨迹。在实轴上选取实验点s，如果实验点s的右方实轴上的开环零点数和极点数的总和为奇数，则实验点s所在的实验段是根轨迹，否则该实验段不是根轨迹。

[6]根轨迹的会合点和分离点。

  1)实轴分离点和会合点的判别。如果实轴上相邻开环极点之间是根轨迹，则该段根轨迹上必有分离点;如果实轴上相邻开环零点之间是根轨迹，则该段根轨迹上必有会合点;如果实轴上根轨迹在一个开环零点与一个开环极点之间，则存在两种情况，或者既无分离点也无会合点，或者既有分离点也有会合点。

2)实轴分离点和会合点的计算。两条根轨迹分离或者会合时根据重根法计算公式或者极值法计算公式可以计算分离点。

设开环传递函数为，

重根法的分离点计算公式为: N(s)D(s)- N(s)D'(s)= 0

极值法的分离点计算公式为：

(7)根轨迹的渐近线。渐近线与实轴的交点公式为：

渐近线与实轴的夹角公式为：

(8)根轨迹与虚轴的交点。根轨迹可能与虚轴相交，交点坐标的。值及相应的Kg值可由劳斯判据求得，也可在特征方程中令s = jw，然后使特征方程的实部和虚部分别为零求得。

(9)根轨迹的出射角和入射角。当系统的开环极点和零点位于复平面上时，根轨迹离开共扼复数极点的出发角称为根轨迹的出射角﹔根轨迹趋于共扼复数零点的终止角称为根轨迹的入射角。

出射角计算公式为：

入射角计算公式为：

(10)闭环系统极点之和与闭环系统极点之积。当(n- m)≥2时，闭环系统极点之和等于开环系统极点之和且为常数，即

定义n个闭环极点的重心为：

闭环极点之积和开环零极点的关系为：

注意，正反馈根轨迹：(零度根轨迹)

绘制正反馈系统根轨迹的相角条件与负反馈系统的不同(许多教科书称负反馈系统根轨迹的相角条件为180相角条件，正反馈系统根轨迹的相角条件为0°相角条件)。因此，凡是与相角条件有关的绘制根轨迹的规则要做相应的修改。

【1】正反馈系统根轨迹的渐近线与实轴正方向的夹角为：

【2】实轴上的根轨迹是指实轴上的某线段右侧的开环零极点个数之和为偶数时，该线段为实轴上的根轨迹。

【3】根轨迹的出射角和入射角分别为：

绘制正反馈系统根轨迹的其他规则与负反馈系统的相同。

总体流程：

4.根轨迹与系统性能

【1】稳定性: 当根轨迹位于s平面左半部时系统稳定。当根轨迹穿过虚轴进人右半s平面时系统不稳定。由根轨迹与虚轴的交点，可确定系统稳定时的参数值。

【2】运动形式: 当系统无闭环零点，且根轨迹位于实轴上时，系统响应是单调的，当根轨迹位于复平面上时，系统响应是振荡的.

【3】主导极点: s平面上最靠近虚轴且附近无其他闭环零点的闭环极点对系统性能的影响最大，称它们为系统的主导极点。凡距虚轴的距离是主导极点的5倍以上的闭环零、极点对系统性能的影响可以忽略。高阶系统中常用主导极点的概念分析系统。

【4】实数零极点的影响: 除了主导极点以外，系统还有其他的实数零点和极点，零点的存在会减小系统的阻尼，使系统响应速度变快，极点的存在会加大系统阻尼，使系统响应速度变慢，它们各自的作用随它们接近原点的程度而加强。

【5】偶极子: 若闭环零、极点之间的距离比它们至主导极点的距离小---个数量级，则它们构成偶极子．远离原点的偶极子对系统的影响可以忽略，接近原点的偶极子的影响必须考虑。

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