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（1）功率谱估值方法matlab仿真——1、功率谱密度介绍

前言

  本文将介绍功率谱密度相关概念、推导公式、性质，主要参考王永德老师主编的随机信号分析基础（第五版），基于书本内容的总结。后续文章也将介绍功率谱估计方法的仿真

一、能谱密度

  如果一个确定信号是$s(t)$，$-\infty <t<+\infty$，满足狄式条件，且绝对可积，即满足
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|s(t)|\mathrm{d}t<\infty$$

或等价条件
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|s(t){|}^2\mathrm{d}t<\infty$$

则$s(t)$的傅里叶变换存在，或者说具有频谱
$$S(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }s(t)e^{-jwt}\mathrm{d}t$$

根据巴塞伐尔（Parseval）公式：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }|s(t){|}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }|S(w){|}^2\mathrm{d}w$$

   等式的左边表示$s(t)$在$(-\infty ,+\infty )$上的总能量，等式的右边表示信号的总能量也可以通过在频域上将每单位的频带的能量（$|S(w){|}^2$即能谱密度）在整个频率范围内积分得到。因此，巴塞伐尔公式可以理解为总能量的谱表示。

二、功率谱密度

  一般来说，很多重要的信号都是能量无限的，不能满足傅里叶变换的条件，但是它们的平均功率是有限的，即：
$$W=\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x(t){|}^2\mathrm{d}t<\infty$$

  对于有限持续时间的信号$x_T(t)$，傅里叶变换是存在的，于是有
$$X_T(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_T(t)e^{-jwt}\mathrm{d}t={\int }_{-T}^T{x}_T(t)e^{jwt}\mathrm{d}t$$

$$x_T(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{X}_T(w)e^{jwt}\mathrm{d}w$$

$X_t(t)$为$x(t)$的频谱函数。
$$\begin{array}{rl}W& =\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|x_T(t){|}^2\mathrm{d}t<\infty \\ & =\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{x}_T(t)[\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{jwt}\mathrm{d}w]\mathrm{d}t\\ & =\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T\frac{1}{2\pi }{X}_T(w)[{\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}_T(t)e^{jwt}\mathrm{d}t]\mathrm{d}w\\ & =\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{2\pi }|X_T(w){|}^2\mathrm{d}w\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\underset{T\to +\infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(w){|}^2\mathrm{d}w\end{array}$$

$W$是某个样本函数的平均功率,我们知道功率谱密度函数是这样的频率函数：（1）当在整个频率范围内对它积分以后，就给出了信号的总功率。（2）它描述了信号的功率在各个不同频率上的分布情况。令
$$G_X(w)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}|X_T(w){|}^2$$

$G_x(w)$称为样本函数的功率谱密度函数。上式$W$可以写为：
$$W=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{G}_X(w)\mathrm{d}w$$

三、功率谱密度和自相关函数关系

  自相关函数与功率谱密度函数为傅里叶变换对，被称为维纳 - 辛钦定理，具体公式如下：
$$G_X(w)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_X(\tau )e^{-jw\tau }\mathrm{d}\tau$$
$$R_X(\tau )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{G}_X(w)e^{jw\tau }\mathrm{d}w$$

由于自相关函数$R_X(\tau )$是$\tau$的偶函数，即$R_X(\tau )=R_X(-\tau )$，可知$G_X(w)$也是$w$的偶函数，于是上述两个式子可以写为
$$G_X(w)=2{\int }_{-\infty }^{+\infty }{R}_X(\tau )cosw\tau \mathrm{d}\tau$$

$$R_X(\tau )=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{G}_X(w)cosw\tau \mathrm{d}w$$

四、功率谱密度的性质

功率谱密度函数具有以下性质：
  1、非负性:$G_X(w)\ge 0$。
  根据功率谱密度的定义，因为$|X_T(w){|}^2$必然为负，故其数学期望值页是非负的，所以功率谱密度具有非负性。
  2、$G_X(w)$是实函数
  因为$|X_T(w){|}^2$是实函数，所以它的数学期望必为实的。
  3、$G_X(w)$是偶函数即：
$$G_X(w)=G_X(-w)$$

  因为$|X_T(w){|}^2=X_T(w)X_T(-w)$，所以$|X_T(w){|}^2$是偶函数，故它的期望也必然是偶函数。

最后

以上就是时尚百合为你收集整理的功率谱估值方法matlab仿真——1、功率谱密度介绍系列文章前言一、能谱密度二、功率谱密度三、功率谱密度和自相关函数关系四、功率谱密度的性质的全部内容，希望文章能够帮你解决功率谱估值方法matlab仿真——1、功率谱密度介绍系列文章前言一、能谱密度二、功率谱密度三、功率谱密度和自相关函数关系四、功率谱密度的性质所遇到的程序开发问题。

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