摘要

本文是《科学计算与MATLAB语言》专题七第3小节的学习笔记，如果大家有时间的话，可以去听听课，没有的话，可以看看我的笔记，还是很不错的。本节主要讲了如何利用MATLAB求级数之和以及泰勒级数如何计算，文中每个代码我都跑过一遍，可以直接复制到MATLAB中运行。

1 级数求和

1.1 MATLAB级数求和函数

求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum（），其调用格式为：
symsum（s，v，n，m）
其中，s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和变量v的初值和末值。
银行利率的计算问题
例1 求下列级数之和。
(1) $S_1=1+4+9+16+\dots +10000$
(2) $S_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}...$
(3) $S_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{2n-1}...$
(1) $S_1=1+4+9+16+\dots +10000$

syms n; 
s1=symsum(n^2,1,100)

s1 = 
338350

(2) $S_2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}...$

s2=symsum((-1)^(n-1)/n,1,inf)

s2 = 
log(2)

(3) $S_3=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+(-1{)}^{n+1}\frac{1}{2n-1}...$

s3=symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),n,1,inf)

s3 = 
hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1) - 1

上式是什么意思呢？

hypergeom([-1/2, 1], 1/2, -1) - 1

ans =
    0.7854

$看看4倍的S_3是什么意思。$

s3=symsum((-1)^(n-1)/(2*n-1),n,1,inf)
eval(s3)*4

ans =
    3.1416

可以看出$S_3=\frac{\pi }{4}$。

1.2 级数求和应用实例

假设某人在银行存款50000元，年利率为4.5%，按复利计息。
①若半年期计息一次，请问一年后总金额是多少？
②若每季度计息一次，请问一年后总金额是多少？
③若每月计息一次，请问一年后总金额是多少？
④若计息时间无限短，即计息期数趋于无穷，则一年后总金额是多少？
思考：期数无限多，总金额是否也会无限增长？
问题分析：
$$\begin{gathered} 假设存款（初始总金额）为p，年利率为r，计息期数为k。 \\ 第一期后总金额为p\ast （1+r/k）。 \\ 第二期后总金额为p\ast （1+r/k{）}^2。 \\ 第三期后总金额为p\ast （1+r/k{）}^3。 \\ 依此类推，第k期后总金额为p\ast （1+r/k{）}^k。 \end{gathered}$$

①若半年期计息一次，请问一年后总金额是多少？

syms k r; 
p2=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,2,2); 
eval(p2)

ans =
   5.2275e+04

②若每季度计息一次，请问一年后总金额是多少？

syms k r; 
p4=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,4,4); 
eval(p4)

ans =
   5.2288e+04

③若每月计息一次，请问一年后总金额是多少？

syms k r; 
p12=symsum(50000*(1+0.045/k)^k,k,12,12); 
eval(p12)

ans =
   5.2297e+04

④若计息时间无限短，即计息期数趋于无穷，则一年后总金额是多少？

limit((1+r/k)^k,k,inf)%计算一下lim(1+r/k)^k,k趋于无穷大时的结果。

ans =
exp(r)

所以，即使是无数次计息，只要年利率确定，总金额也不会无限增长，它收敛于$p{e}^r$。
当p=5000,r=4.5%时。

5000*exp(0.045)

ans =
   5.2301e+03

1.3 特例

$$\begin{gathered} 注意： \\ 在符号计算中，因为小数都表示为有理分数的形式,随着计算次数的增加， \\ 容易导致分子或分母出现极大整数从而无法计算的情况。 \end{gathered}$$
求以下级数之和
(1) $S_1=1+1/4+1/9+...+1/n^2+...$
(2) $S_2=1+1/4+1/9+...+1/500^2$

syms n; 
s1=symsum(1/n^2,n,1,inf)

s1 = 
pi^2/6

syms n; 
s2=symsum(1/n^2,n,1,500)

s2 =
409896675094...

eval(s2)

ans =
   NaN

第2个级数无法使用symsum函数求和。但可以使用循环计算。

s=0
for i=1:500
    s=s+1/i^2
end

s =
    1.6429

2 泰勒级数

2.1 泰勒级数函数的调用

MATLAB提供了taylor（）函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：
taylor（f，v，a，Name，Value）
该函数将函数f按变量v在a点展开为泰勒级数，v的默认值与diff函数相同，a的默认值是0。Name和Value为选项设置，经常成对使用，前者为选项名，后者为该选项的值。
Name有3个可取字符串：
①’ExpansionPoint’：指定展开点，对应值可以是标量或向量。
未设置时，展开点为0。
②’Order’：指定截断参数，对应值为一个正整数。未设置时，截断参数为6，即展开式的最高阶为5。
③’OrderMode’：指定展开式采用绝对阶或相对阶，对应值为
’Absolute’或’Relative’。未设置时取Absolute’。

例2 求函数$f$在$x=1$处的5阶泰勒级数展开式。
(1) $f=\frac{1+x+x^2}{1-x+x^2}$

syms x; 
f=(1+x+x^2)/(1-x+x^2); 
taylor(f,x,1,'order',6)

ans = 
2*(x - 1)^3 - 2*(x - 1)^2 - 2*(x - 1)^5 + 3

expand(ans)

ans = 
- 2*x^5 + 10*x^4 - 18*x^3 + 12*x^2 + 1

2.2 泰勒级数的应用

复杂函数的计算方法问题
$$\begin{gathered} 除了四则运算以外，计算机对其他复杂函数怎么计算？ \\ 是否存在一种方法，使得计算机只需要通过四则运算，就能计算其他复杂函数？ \end{gathered}$$
泰勒级数展开就是一种非常好的解决方案。
例3 利用泰勒展开式计算三角函数的值。

syms x; 
f=taylor(cos(x),x,pi)%求cos(x)的泰勒展开式并赋值给f

f = 
(x - pi)^2/2 - (x - pi)^4/24 - 1

syms x; 
f=taylor(cos(x),x,pi);
x=3;
eval(f)

ans =
   -0.9900

cos(3)

ans =

   -0.9900

通过泰勒级数展开的方法，成功地将三角函数的计算转换成了四则运算。
是不是感觉数学实在是太美妙了。

结语

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最后

以上就是心灵美小刺猬为你收集整理的利用MATLAB计算级数之和与泰勒级数的应用摘要1 级数求和2 泰勒级数结语的全部内容，希望文章能够帮你解决利用MATLAB计算级数之和与泰勒级数的应用摘要1 级数求和2 泰勒级数结语所遇到的程序开发问题。

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