码分复用 = 频分复用 + 时分复用 ?

✅ 在上《计算机网络与通信》这门课时，对 “码分复用” 这个重点，做了一点笔记

● 个人感觉 码分复用(CDMA，Code Division Multiple Access) 是 “频分复用 与 时分复用 的结合”。

● 它们三个的共同点是：都是在一条传输信道中传输多路信号。如下图所示。[图中，T 代表的是 Terminal(终端)]

● 首先，频分复用 指：在信道中按频率划分不同的子信道，每个子信道占用不同的频率范围，同时传输多路信号，每路信号占用部分带宽，信号是以 0、1 的形式传输。

● 其次，时分复用 指：每个 终端 在一个时间周期内，以 “分时间片” 的形式来传输信号，信号是以 0、1 的形式传输。如下图所示：【时分复用还分静态和动态的，下图是静态的。TDM 代表 Time Division Multiplexing】

● 在讲 码分复用 之前，这里要补充一个概念 → 码片(chip)：由 0、1 构成的 m 位的一组二进制编码。例如：01、110、00011011等。然后提一下，如果某个码片为 11101，那么它的补码即是 00010.

● 码片 有时候也有其他名字，比如：切片、切片序列、码片序列。后面我都统一写成码片。

● 码分复用 指：每个 终端 在一个时间周期内，以 “分码片” 的形式来传输信号，信号是以 “码片”、“码片的补码” 的形式传输。

◆ 为了便于理解 码分复用 的概念，我们把 频分复用 和 时分复用 的概念拿出来对比一下：

频分复用 指：在信道中按频率划分不同的子信道，每个子信道占用不同的频率范围，同时传输多路信号，每路信号占用部分带宽，信号是以 0、1 的形式传输。


时分复用 指：每个 终端 在一个时间周期内，以 “分时间片” 的形式来传输信号，分时传输多路信号，每路信号占用全部带宽，信号是以 0、1 的形式传输。


码分复用 指：每个 终端 在一个时间周期内，以 “分码片” 的形式来传输信号，同时传输多路信号，每路信号占用全部带宽，信号是以 “码片”、“码片的补码” 的形式传输。

● 相信大家已经了解了它们之间的联系与区别，接下来我们继续了解 码分复用 的 其他重要概念，然后举例。

一、前驱概念

● 令向量 p 表示 “T1站(终端)的码片向量”，令向量 q 表示 “T2站(终端)的码片向量”。

● 两个不同站的 码片序列 正交，就是指向量 p 和 q 的规格化内积(inner product)都是 $0$，公式如下：

$$p\cdot q=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{p}_i{q}_i=0$$

◆ 例如，令向量 s 为 $(-1,-1,+1,–1)$， 向量 t 为$(+1,+1,+1,-1)$。 那么把向量 s 和 t 的各分量值代入公式就可看出这两个码片序列是正交的。因为：$$s\cdot t=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{p}_i{q}_i=\frac{1}{4}[(-1\times 1)+(-1\times 1)+(1\times 1)+(-1\times (-1))]=0$$

● 小概念一：任何一个码片向量和该码片向量自己的规格化内积都是1 。
比如说，(1,-1)与自己的内积为 ( 1 , − 1 ) ⋅ ( 1 , − 1 ) = 1 2 { ( 1 × 1 ) + [ ( − 1 ) × ( − 1 ) ] } = 1 (1,-1)·(1,-1)=frac{1}{2}{(1times1)+[(-1)times(-1)] }= 1 (1,−1)⋅(1,−1)=21​{(1×1)+[(−1)×(−1)]}=1

● 小概念二：一个码片向量和该码片补码的向量的规格化内积值是 -1。
比如说，(1,-1)与自己的内积为 ( 1 , − 1 ) ⋅ ( − 1 , 1 ) = 1 2 { [ 1 × ( − 1 ) ] + [ ( − 1 ) × ( 1 ) ] } = − 1 (1,-1)·(-1,1)=frac{1}{2}{[1times(-1)]+[(-1)times(1)] }= -1 (1,−1)⋅(−1,1)=21​{[1×(−1)]+[(−1)×(1)]}=−1

● 小概念三[后面要用]：如果一个 “码片向量A” 与另一个 “码片向量B” 是正交的。那么就有：【推导很简单，这里就不写了】
    ① A 与 B 正交
    ② “A的补码” 与 B 正交
    ③ A 与 “B的补码” 正交
    ④ “A的补码” 与 “B的补码” 正交

二、码分复用的规定

● 在使用 码分复用 的场景中，假设每个 终端 被指派一个惟一的 $m$(bit) 的码片序列。那有规定如下：
    ① 如发送比特 $1$，则发送自己的 $m$(bit) 码片序列。
    ② 如发送比特 $0$，则发送自己的反码(还是二进制形式)。
    ③ 每个码片序列在计算 “内积” 时，需要把 “0 → -1”。比如某一个码片序列为 1001，则它在计算 内积 时，它的码片序列变为 （1，-1，-1，1）。
    ④ 每个 “站(终端)” 分配的 码片序列 不仅必须各不相同，并且还必须互相 正交。【这是规定，后面会讲为什么要这样字】

◆ 例如，S 终端(也可以称为“S站”)有一个 $8$(bit) 的码片序列是 $00011011$。如果发送比特 $1$ 时，就发送序列 $00011011$；如果发送比特 $0$ 时，就发送序列 $11100100$。故 S 终端的码片序列：$(-1,-1,-1,+1,+1,–1,+1,+1)$

三、实际样例

● 假如说，有两个站，分别是 S 和 T，它俩采用 码分复用 的手段来传输信号。相关信息如下图所示。【我们可以简单地看一下，“S的码片序列” 和 “T的码片序列” 是正交的】

● 假如说，在发送端，S 站传送的信号为 “110”，即下图中 “最上面的的黄色部分”。那么 S 站要把 S_x 写成下图所示，表示 “1” 时就用 “S的码片序列本身”，表示 “0” 时就用 “S码片序列的补码”。同理对于 T 站也是。

● 那么，在接收端，想要得到 S_x ，就需要用 “S的码片序列” 去进行格式化内积信道中的 (S_x+T_x)。即 $S\cdot (S_x+T_x)=S\cdot S_x+S\cdot T_x=S\cdot S_x+0=S站发出的原信号$。
    同理，想要得到 T_x ，就需要用 “T的码片序列” 去进行格式化内积信道中的 (S_x+T_x)。即 $T\cdot (S_x+T_x)=T\cdot S_x+T\cdot T_x=0+T\cdot T_x=T站发出的原信号$。

◆ 有人可能会问，为什么 “$S\cdot T_x=0$” 呢？
    由前面写的 “小概念三” 可知，因为 T_x 是由 “T的码片序列”以及“T的码片序列的补码” 所构成，而 “T的码片序列”以及“T的码片序列的补码” 与 “S的码片序列” 都是正交的。

◆ 那又有人会问了，感觉在上图中 “$S\cdot T_x$” 对应的那条信号不太像是 “$S\cdot T_x=0$” 的意思呢？
    这里，我们数数，在一个区间内，那条信号的 0、1 相加为多少？不就是 1 + 1 - 1 - 1 + 1 - 1 +1 -1 = 0 嘛。所以说 “$S\cdot T_x=0$” 是这样子体现的。

◆ 最后，有一个拓展问题：假如有 100 个站点，则码片序列至少要多少位？【只做了解即可】
    从简单入手，如果有 2 个站点，那么需要 “0、1” 这两个码片行吗？ 显然不行，起码用 “01、00” 或 “01、11” 这两个码片。 $m$ 位的码片能表示 $2^m$ 种码片，况且某一个站使用了码片A，那连它的补码也要算给这个站的。所以 100 个站点至少需要 8 位的码片甚至更多($2^8=256$) 。

● 总结：

频分复用 指：在信道中按频率划分不同的子信道，每个子信道占用不同的频率范围，同时传输多路信号，每路信号占用部分带宽，信号是以 0、1 的形式传输。


时分复用 指：每个 终端 在一个时间周期内，以 “分时间片” 的形式来传输信号，分时传输多路信号，每路信号占用全部带宽，信号是以 0、1 的形式传输。


码分复用 指：每个 终端 在一个时间周期内，以 “分码片” 的形式来传输信号，同时传输多路信号，每路信号占用全部带宽，信号是以 “码片”、“码片的补码” 的形式传输。

● 若有写得不对的地方，或有疑问，欢迎评论交流。

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最后

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