从频域幅频曲线看系统性能

前边的文章介绍过在时域上系统的特征根对系统特性的影响：
二阶系统欠阻尼状态极点位置对阶跃响应的影响
这里简单回顾下：
典型二阶系统的传递函数如下：
$$H(s)=\frac{\omega n^2}{s^2+2\xi \ast \omega n\ast s+\omega n^2}$$
特征方程为：
$$s^2+2\xi \ast \omega n\ast s+\omega n^2=0$$
欠阻尼状态下的特征根为：
$$s_{1,2}=-\xi \ast \omega n\pm jwn\ast \sqrt{1-{\xi }^2}(0<\xi <1)$$

特征根的实部决定了系统的稳定时间ts，阻尼系数决定了系统的超调量。
$$\begin{gathered} \sigma =e^{\frac{-\pi \ast \xi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}} \\ ts=\frac{3.5}{\xi \ast \omega n}（包络线正负百分5） \end{gathered}$$

本文主要包含以下内容：
一、三段法简介
二、低频段对特性的影响
三、中频段对特性的影响
四、高频段对特性的影响

一、三段法简介
三段法即将系统幅频特性区域分为低频段，中频段，高频段三段，其中，低频段主要看系统的开环增益，决定系统的稳态误差；中频段主要看系统的相位余量以及穿越频率，决定系统的稳定时间以及超调量；高频段要求系统看系统的开环增益，决定系统的高频抗干扰能力。

二、低频段
通常指第一个转折频率左侧的频段，这一段的特性由积分环节和开环增益决定，设低频段对应的传递函数为：
$$Gd(s)=\frac{K}{s^v}$$
从《控制系统稳态误差（静态误差）分析》文章介绍
v决定系统的型别，K决定不同型别下不同响应的稳态误差：

因此在设计系统时，我们需要根据稳态误差要求来确定最小需要的开环增益k.

三、中频段
通常中频段指截止频率附近的频段，相位裕度γ与阻尼系数ξ相关，确定相位余量后，系统的开环截止频率ωc决定了系统的稳定时间ts。
具体而言：
$$\gamma =arctan\frac{2\xi }{\sqrt{\sqrt{4{\xi }^4+1}-2{\xi }^2}}$$
由此可知ξ越大 γ 越大σ%越小。
$$ts\omega c=\frac{7}{tan\gamma }$$
当确下γ和ts要求时候，可以求出ωc。从公式可以看出，γ一定时候ωc 越大，越小。

四、高频段
高频段原理系统截止频率，对系统动态性能影响很小，但从系统扛干扰能力上来说，高频段增益越低，下降斜率越大，系统抗高频干扰能力越强。

五，高阶系统
从以上分析来看，二阶系统通过幅频特性曲线来分析系统动态性能，没有时域分析来的简单直观，但高阶是系统即使用时域法降阶分析也挺麻烦，当然三阶以上的系统要求出频域的γ和ωc也不容易。因此我们的前人总结了如下经验近似公式，方便估算系统特性：
$$\begin{gathered} \sigma =[0.16+0.4(\frac{1}{sin\gamma }-1)](35°\le \gamma \le 90°) \\ ts=\frac{pi}{\omega c}[2+1.5(\frac{1}{sin\gamma }-1)+2.5(\frac{1}{sin\gamma }-1{)}^2]（35°\le \gamma \le 90°） \end{gathered}$$
当系统ωc一定时，γ增加， σ和ts都会下降。

最后

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