求相角裕度和幅值裕度_13. 稳定裕度

如前所述，一大部分控制系统随着增益K的增大而容易变得不稳定。如果系统已经闭环稳定了，知道稳定裕度（Stability Margin）是很有意义的。Margin的意思简单来说就是gap，英语中margin其中一个含义就是指某件事距离失败或者成功之间的距离 (an amount by which a thing is won or falls short.) 。

稳定裕度这个名词取得可以，裕度在这里指的距离系统不稳定的某个量变化的宽裕程度。两种衡量指标，幅值裕度和相位裕度。这两种相对稳定性的指标与系统的时域响应是有联系的，在本章先只介绍概念。

下面的讨论都针对最小相位系统 minimum phase system。Non-minimum phase system的结论并不相同。非最小相位系统可能随着K值的增大而趋向于稳定。

记不记得住有一些结论并不重要，但是两种margin的概念一定要理解，理解为什么需要计算这两个值，这两值的大小分别对系统性能意味着什么。

1.幅值裕度GM与相位裕度PM

幅值裕度（gain margin ,GM）在上一篇Nyquist稳定性的临界稳定时提到过了，也就是phase为-180度对应的Bode Plot的幅值距离0dB线的幅值差，也可以是根轨迹上两个K值之比，后者是一个临界稳定时虚轴上的K值。GM是可正可负的。

相位裕度（phase margin，PM）依旧是根据临界稳定的条件，当频率特性幅值满足

时相位超前-180的角度。对于一个稳定系统而言它总应该大于0度。PM也是可正可负的。

在Nyquist Plot上也可以去定义GM和PM。频率特性的相角如果为-180度时，那么对应的Nyquist Plot上曲线与负实部半轴的交点，此时交点幅值

，则必然有系统稳定。穿越实轴时的频率称为穿越频率(crossover frequency)。那么此时定义GM为

意义为幅值再扩大GM倍后，则系统达到临界稳定，大于GM倍后系统不稳定。所以穿越频率时的交点幅值也就成为了1/GM。应该注意这个定义和Bode Plot的定义是一致的，因为在分贝单位下，GM的定义式子就变成了

所以也就等同于0dB线与

的分贝数之差了。正GM系统稳定，否则不稳定。

PM也类似，当幅值为1时，则曲线穿越单位圆，则是相角与-180之差定义为PM。下图中所示的为正PM，因为从正半轴顺时针开始计算，则从0往-180度角度是逐渐变小的，注意如果从正半轴逆时针开始计算，负半轴相角为180度，那么下图的PM的值就会大于180度，依旧是正的。我们以负半轴为-180度计算，则相位裕度应该是交点处的相角减去-180度，即单位圆交点相角加上180度。图中的所示就是相角之差，逆时针为正。

2. PM与阻尼比

PM在设计指标中更常出现是因为其与damping ratio在二阶系统中是有一定关联。从一个标准的二阶系统中，根据PM的定义，我们写成频率特性的表达式后可以精确地写出其PM的表达式。在标准二阶系统中，PM与damping ratio有如下近似关系。

常用此关系来作为系统设计的开始，但最终闭环系统的阻尼还是要再检查，因为上式仅仅适用于PM小于70，并且为标准二阶系统。

从这个关系上粗略地看，我们希望PM增大，必然会导致系统阻尼增大，从而使得系统的调节时间延长。

3.使用的局限

如果GM>0dB，PM>0度，则闭环系统是稳定的。此结论只适用于Nyquist Plot的半闭合曲线只与单位圆和负半实轴相交一次，且系统开环是稳定的，为最小相位系统。注意这两个条件需要一起使用才行，单独使用都不足以说明稳定性。实际中的系统一般都是采用开环Bode Plot的穿越频率（0dB处的频率）来找到对应的PM，反之GM也是 从-180度时的频率找到的。对于non-minimum phase的系统，最好还是要用Nyquist plot来确定其稳定性。

PM和GM是相对稳定性的一种表征，也必须两个一起使用才能说明问题。有可能PM为正，但GM为负或者反过来，这些都不能保证系统闭环稳定。根据[2]中所述，PM一般为30度到60度之间，GM一般大于6dB。

对于一个一阶系统或者二阶系统而言，相位永远也不会越过180度（即小于-180度），那么GM无穷大，没有参考价值。 高阶系统的Bode Plot如果与0dB线多次相交，则上述的定义并不能明确告诉我们哪一个频率下的PM是我们应该取得的。实际上在Nyquist plot中我们都会取GM为最小的值（即最靠近单位圆的交点频率），PM也为最小值，这样保守的估计对设计来讲是安全的。实际中，我们还是会采用Nyquist plot或者Nichols plot来检查GM和PM。关于Nichols plot在本系列文章中就展开了。

4.本篇小节

GM 幅值裕度和PM 相位裕度都是用来衡量闭环系统相对稳定性的。两组指标通常需要一起使用才有意义，并且两组指标的数值需要平衡系统的其他性能，因此也并不是在任何时候都是越大越好的。我们在Nyquist plot和Bode plot都能够检查GM和PM的值，但是对于其他不常规的系统，严格的GM和PM还是要通过Nyquist plot或者Nichols plot来确定。

Reference

[1] G.F. Franklin, J.D. Powell, A.Emami-Naeini, Feedback Control of Dynamic Systems, 7th Edition, 2014, Pearson

[2] 胡寿松，自动控制原理（第六版），2013，科学出版社