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1、1,7.1,控制系统的稳定性分析,1,利用极点判断系统的稳定性,判断一个线性系统稳定性的一种最有效的,方法是直接求出系统所有的极点，然后根据极,点的分布情况来确定系统的稳定性,2,系统特征方程的一般形式为,对于连续时间系统，如果闭环极点全部在,S,平面左,半平面，则系统是稳定的；否则系统是不稳定的,对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于,Z,平,面的单位圆内，则系统是稳定的；否则系统是不稳定,的,系统稳定性分析,n,i,i,n,i,n,n,n,n,o,s,a,a,s,a,s,a,s,a,s,D,0,1,1,1,0,n,i,p,i,2,1,0,Re,n,i,p,i,2,1,1,3,直接判定方法。

2、,对于传递函数模型,tf(num,den,利用求根,函数,roots(den,来求极点。对于状态空间模型,SS(A,B,C,D,利用求特征值函数,eig(A,来求特征,值。这样根据极点或特征值即可直接判定系统,的稳定性,4,例,1,已知单位负反馈系统的开环传递函数为,试判断系统的稳定性,解,MATLAB,程序如下,k=100;z=-2;p=0;-1;-20,n1,d1=zp2tf(z,p,k,n,d=feedback(n1,d1,1,1,roots(d,运行结果显示,ans,12.8990,5.0000,3.1010,20,1,2,100,S,S,S,S,S,G,5,例,7-1,已知闭环系统的。

3、传递函数为,试判断系统的稳定性，并给出不稳定极点,解,MATLAB,程序如下,ex7_1.m,num=3 2 1 4 2;den=3 5 1 2 2 1,z,p=tf2zp(num,den,ii=find(real(p)0);n1=length(ii,if(n10,disp(The Unstable Poles are:,disp(p(ii,else disp(System is stable,end,pzmap(num,den,title(Zero-Pole Map,1,2,2,5,3,2,4,2,3,2,3,4,5,2,3,4,s,s,s,s,s,s,s,s,s,s,G,find,功能：查。

4、找非零元素的值,格式,k=find(X,6,运行结果显示,The Unstable Poles are,0.4103 + 0.6801i,0.4103,0.6801i,7,2,利用特征值判断系统的稳定性,系统的特征方程,s,I,A,s,n,a,1,s,n,1,a,n,1,s,a,n,0,的根称为系统的特征值，即系统的闭环极点,当然判断系统的稳定性同样可利用特征值来判,断,p=poly(A,求,A,的特征多项式,r=roots(p,求特征多项式的根,r=eig(A,求,A,的特征值,8,例,7-3,已知系统的状态方程为,判断系统的稳定性,解,MATLAB,程序如下,ex7_3.m,A=2.25 。

5、-5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25,0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75,P=poly(A);r=roots(P);ii=find(real(r)0,n=length(ii,if(n0,disp(System is Unstable,else disp(System is Stable,end,u,x,x,02,22,24,46,75,0,25,0,75,1,25,1,1,25,1,5,0,25,0,25,0,25,1,25,4,25,2,5,0,25,1,5,25,2,运行结果显示,System is Sta。

6、ble,9,3,利用李雅普诺夫第二法来判断系统的稳定性,线性定常连续系统,在平衡状态,x,e,0,处渐近稳定的充要条件是：对任给的,一个正定对称矩阵,Q,存在一个正定的对称矩阵,P,且满足李雅普诺夫方程,A,T,P+PA,Q,而标量函数,V(x)=x,T,Px,是这个系统的一个二次型李雅,普诺夫函数,MATLAB,提供了李雅普诺夫方程的求解函数,lyap(,其调用格式为,P,lyap,A ,Q,Ax,x,10,例,7-4,设系统的状态方程为,其平衡状态在坐标原点处，试判断该系统的稳定性,解,MATLAB,程序如下,ex7_4.m,A=0 1;-1 -1;Q=eye(size(A);P=lyap。

7、(A,Q,if(P(1,1)019 -21 20;40 -40 -40,b=0;1;2,c=1 0 2,d=0,y,x,t=step(a,b,c,d,figure(1,plot(t,y,title(the step responce,xlabel(time-sec,figure(2,绘制状态变量的轨迹,plot(t,x,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,0.35,the step responce,time-sec,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,0.05,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,0.3,x1,x。

8、2,x3,17,ex_step2.m,系统传递函数,G(s)=1/(s2+0.1s+5)(s3+2s2+3s+4,num=1,den=conv(1 0.1 5,1 2 3 4,绘制系统的阶跃响应曲线,t=0:0.1:40,y=step(num,den,t,t1=0:1:40,y1=step(num,den,t1,plot(t,y,r,t1,y1,0,5,10,15,20,25,30,35,40,0.02,0,0.02,0.04,0.06,0.08,0.1,0.12,18,例,7-6,设系统的开环传递函数为,试求该系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线和最大超调量,解,MATLAB,程序如下,num0。

9、=20; den0=1 8 36 40 0,numc,denc=cloop(num0,den0,t=0:0.1:10,y,x,t=step(numc,denc,t,plot(t,y,M=(max(y)-1)/1)*100,disp,最大超调量,M= num2str(M) ,运行结果显示,最大超调量,M=2.5546,s,s,s,s,s,G,40,36,8,20,2,3,4,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,19,例,7-7,对于典型二阶系统,试绘制出无阻尼自然振荡频率,n,6,阻尼比,分别为,0.2,0.4,1.0,2.0,时。

10、系统的单位阶跃响,应曲线,2,2,2,2,n,n,n,s,s,s,G,20,解,MATLAB,程序如下,ex7_7.m,wn=6,zeta=0.2:0.2:1.0,2.0,hold,on,for,I=zeta,num=wn.2,den=1,2*I*wn,wn.2,step(num,den,end,title,Step,Response,hold,off,结论：阻尼系数越小，超调,量越大，上升时间越短，通,常取,0.40.8,为宜，超调量适,度，调节时间较短,21,例,7-8,对例,7-7,中的典型二阶系统，绘制出,0.7,n,取,2,4,6,8,10,12,时的单位阶跃响应,解,MATLAB,。

11、程序如下,ex7_8.m,w=2:2:12;zeta=0.7,figure(1);hold on,for wn=w,num=wn.2,den=1,2*zeta*wn,wn.2,step(num,den,end,title(Step Respone,hold off,结论,n,越大，响应速度越快,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,1.2,1.4,2,4,12,6,8,10,Step Respone,Time (sec,A,m,p,l,i,t,u,d,e,22,3,离散系统的单位阶跃响应,离散系统的单位阶跃响应函数,dstep,的调,用格式。

12、为,y,x=dstep(num,den,n,y,x=dstep(G,H,C,D,iu,n,23,例,7-9,已知二阶离散系统,试求其单位阶跃响应,解,MATLAB,程序如下,ex7_9.m,num=2,3.4,1.5,den=1,1.6,0.8,dstep(num,den,title,Discrete,Step,Response,8,0,6,1,5,1,4,3,2,2,2,z,z,z,z,z,G,0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,0.5,0,0.5,1,1.5,2,Discrete Step Response,Time (sec,A,m,p,l,i,t,u,d,e,。

13、24,例,7-10,对于多输入多输出系统求单位阶跃响应曲线,解,MATLAB,程序如下,ex7_10.m,A=2.25 -5 -1.25 -0.5;2.25 -4.25 -1.25 -0.25,0.25 -0.5 -1.25 -1;1.25 -1.75 -0.25 -0.75,B=4 6;2 4;2 2;0 2,C=0 0 0 1;0 2 0 2,D=zeros(2,2,step(A,B,C,D,25,0,0.5,1,1.5,2,From: In(1,T,o,O,u,t,1,0,2,4,6,8,10,12,0,2,4,6,8,10,T,o,O,u,t,2,From: In(2,0,2,4,6,8,10,12,Step Response,Time (sec,A,m,p,l,i,t,u,d,e,26,4,单位脉冲响应,单,位,脉,冲,响,应,函,数,impulse,和,dimpulse,与单位阶跃函数,step,和,dstep,的调用格式完全一致。