fsolve

解非线性方程组

非线性系统解算器
解决指定的问题

F(x)= 0

对于x, F(x)是一个返回向量值的函数。

x是一个向量或者一个矩阵;看矩阵参数。

语法：

x = fsolve(fun,x0)
x = fsolve(fun,x0,options)
x = fsolve(problem)
[x,fval] = fsolve(___)
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(___)
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(___)

描述：

1. x = fsolve(fun,x0) 从x0开始，试着解这些方程fun(x) = 0，一个0的数组。

实例：二维非线性系统的解
这个例子展示了如何在两个变量中求解两个非线性方程。方程是

把方程转换成F(x)= 0形式。

写一个函数，计算这两个方程的左边。

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

将此代码保存为一个名为root2d的文件在你的MATLAB搜索路径下。

求从点[0,0]开始的方程组。

fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0)

方程解决。

fsolve完成是因为函数值的向量在函数公差的默认值测量下接近于零，而这个问题在梯度测量下呈现出规律性。

x =

    0.3532    0.6061

补充：MATLAB软件计算结果

方程解决。函数值的平方和r = 5.939402e-14小于sqrt(options.FunctionTolerance) = 1.000000e-03。r的梯度的相对范数r，2.023188e-07，小于选项OptimalityTolerance = 1.000000e-06。

2. x = fsolve(fun,x0,options)用选项中指定的优化选项解决方程。使用optimoptions来设置这些选项。

实例：具有非默认选项的解决方案
检查非线性系统的求解过程。
设置选项为无显示和一个显示一阶最优性的绘图函数，当算法迭代时，该函数应该收敛到0。

options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

非线性系统中的方程是

把方程转换成F(x)= 0形式。

编写一个函数来计算这两个方程的左边。

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

将此代码保存为MATLAB®路径上名为root2d.m的文件。
从点[0,0]开始求解非线性方程组，观察求解过程。

fun = @root2d;
x0 = [0,0];
x = fsolve(fun,x0,options)

结果

 x = 
     0.3532    0.6061

3. x = fsolve(problem)解决问题，其中问题是在Input Arguments中描述的结构。通过从优化应用程序导出问题来创建问题结构，如Exporting Your Work中所述。

实例：解决一个问题结构体

为fsolve创建问题结构体并解决问题。
使用非默认选项解决与解决方案相同的问题，但是使用问题结构体表示问题。

设置没有显示的问题选项和显示一阶最优性的绘图函数，当算法迭代时，它应该收敛到0。

problem.options = optimoptions('fsolve','Display','none','PlotFcn',@optimplotfirstorderopt);

非线性系统中的方程是

把方程转换成F(x)= 0形式。

编写一个函数来计算这两个方程的左边。

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);
F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

将此代码保存为MATLAB®路径上名为root2d.m的文件。

在问题结构中创建其余字段。

problem.objective = @root2d;
problem.x0 = [0,0];
problem.solver = 'fsolve';

解决这个问题。

x = fsolve(problem)

x =

    0.3532    0.6061

4. [x,fval] = fsolve(___)，对于任何语法，返回在解决方案x处目标函数fun的值。

实例：非线性系统的解过程

此示例返回迭代显示，显示两个方程和两个未知数的系统的求解过程

以F（x）= 0的形式重写方程式：

在x0 =[-5 -5]中开始寻找解决方案。

首先，写一个计算F的文件，计算方程在x处的值。

function F = myfun(x)
F = [2*x(1) - x(2) - exp(-x(1));
      -x(1) + 2*x(2) - exp(-x(2))];

在MATLAB®路径上将此函数文件另存为myfun.m. 设置初始点。设置options以返回迭代显示。

x0 = [-5;-5];
options = optimoptions('fsolve','Display','iter');

调用fsolve。

[x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options)

方程解决。

fsolve完成是因为函数值的向量在函数公差的默认值测量下接近于零，而这个问题在梯度测量下呈现出规律性。

x =
    0.5671
    0.5671

fval =
  1.0e-006 *
      -0.4059
      -0.4059

补充：

方程解决。函数值的平方和r = 3.295252e-13，小于
√options.FunctionTolerance = 1.000000 e 03。r的梯度的相对范数，6.361186 -07，小于options。OptimalityTolerance = 1.000000 e-06。
优化指标的选择
相对范数(grad r) = 6.36e-07 OptimalityTolerance= 1e-06(默认)
r = 3.30 e-13 √FunctionTolerance = 1.0 e-03(默认)

5. [x,fval,exitflag,output] = fsolve(___)另外返回一个描述fsolve退出条件的exitflag值，以及一个包含优化过程信息的结构output。

实例：检验矩阵方程解
找到一个满足的矩阵X

从点x=[1,1;1,1]开始。检查fsolve输出，查看解决方案的质量和过程。
创建一个匿名函数来计算矩阵方程。

fun = @(x)x*x*x - [1,2;3,4];

设置关闭显示的选项。设初始点x0。

options = optimoptions('fsolve','Display','off');
x0 = ones(2);

调用fsolve并获取有关解决过程的信息。

x =

   -0.1291    0.8602
    1.2903    1.1612

fval =

   1.0e-09 *

   -0.1618    0.0778
    0.1160   -0.0474

exitflag =

     1

退出标志值1表示解决方案是可靠的。为了手工验证这一点，计算残差(fval的平方和)，看看它离零有多近。

sum(sum(fval.*fval))

ans = 
   4.7957e-20

这个小残差证实了x是一个解。
正如您在输出结构中看到的，fsolve执行了35个函数计算来找到解决方案。

output.funcCount

ans =

    35

6. [x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(___)返回在解x处的fun函数的雅可比矩阵。

输入参数

fun — 非线性方程求解
函数句柄 | 函数名

要求解的非线性方程，指定为函数句柄或函数名。 fun是一个接受向量x并返回向量F的函数，向量F是在x处取值的非线性方程。对于F的所有分量，要求解的等式是F = 0.函数fun可以被指定为文件的函数句柄

x = fsolve(@myfun,x0)

其中 myfun 是一个MATLAB函数，比如

function F = myfun(x)
F = ...            % 计算函数在x点的值

fun 也可以是匿名函数的函数句柄。

x = fsolve(@(x)sin(x.*x),x0);

如果x和F的用户定义值是矩阵，则使用线性索引(MATLAB)将它们转换为向量。
如果雅可比矩阵也可以计算并且雅可比矩阵选项是“on”，则由

options = optimoptions('fsolve','SpecifyObjectiveGradient','on')

函数fun必须在第二个输出参数中返回雅可比值J，即x处的矩阵。

如果fun返回m个分量的向量（矩阵）并且x具有长度n，其中n是x0的长度，则雅可比J是m*n矩阵，其中J（i，j）是F（ i）关于x（j）的偏导数。 （雅可比J是F渐变的转置）

Example: fun = @(x)xxx-[1,2;3,4]
Data Types: char | function_handle | string

x0 — 起始点
实向量| 实数组
初始点，指定为实向量或实数组。fsolve使用元素的数量和x0的大小来确定fun接受的变量的数量和大小。
Example: x0 = [1,2,3,4]
Data Types: double

options — 优化选项
输出的优化选项 | 结构作为优化集返回

优化选项，指定为优化选项的输出或优化集返回等结构。

一些选项适用于所有算法，另一些选项与特定算法相关。有关详细信息，请参见优化选项参考。从Optimization Options Reference 查看详细信息.

优化选项显示中缺少一些选项。这些选项以斜体列出。有关详细信息，请参见View Options。

Example: options = optimoptions(‘fsolve’,‘FiniteDifferenceType’,‘central’)

补充：

Choosing the Algorithm

fsolve Algorithms

fsolve 有三种算法:
‘trust-region-dogleg’ (默认)
‘trust-region’
‘levenberg-marquardt’

使用optimoptions在命令行设置算法选项。
建议
首先使用“trust-region-dogleg”算法。
如果fsolve失败，请查看该解决程序When the Solver Fail或When the Solver Might Have Succeeded。
如果您有一个雅可比矩阵乘法函数，或者希望优化内部算法(请参阅fsolve options中的Trust-Region Algorithm)，请尝试“Trust-Region”再次求解方程。
尝试计时所有的算法，包括“levenberg-marquardt”，以找到最适合您的问题的算法。

建议背后的原因
“trust-region-dogleg”是唯一一种专门用于求解非线性方程的算法。其他的则试图最小化函数的平方和。
'trust-region’算法对稀疏问题是有效的。它可以使用特殊的技术，如雅可比矩阵乘函数的大规模问题。
有关算法的描述，请参见Equation Solving Algorithms。

problem — Problem structure
structure
问题结构，指定为具有以下字段的结构:

获得问题结构的最简单方法是从Optimization app优化应用程序导出问题。
Data Types: struct

输出参数

x -解
实向量|实数数组
解，作为实向量或实数组返回。x的大小等于x0的大小。通常，当exitflag为正数时，x是问题的本地解决方案。有关解决方案质量的信息，请参见When the Solver Succeeds.解决程序何时成功。

fval -目标函数在解处的值
真正的向量
目标函数在解处的值，作为实向量返回。一般来说，fval = fun(x)。

exitflag -原因fsolve停止
整数
原因fsolve停止，返回一个整数。

output-关于优化过程的信息
结构
关于优化过程的信息，以字段结构形式返回:

jacobian-解的雅可比矩阵
真正的矩阵
解的雅可比矩阵，作为实矩阵返回。jacobian(i,j) 是fun(i) 关于x(j)在解x处的偏导数。

局限性

要解的函数必须是连续的。
成功时，fsolve只给出一个根。
默认的trust-region dogleg方法只能在方程组为正方形时使用，即，方程的数量等于未知数的数量。对于Levenberg-Marquardt方法，方程组不需要是平方的。
trust-region算法的共轭梯度预处理部分的预处理计算在计算预处理前形成JTJ(其中J为雅可比矩阵);因此，一排带有许多非零的J，会导致JTJ产品的密度接近于零，这可能会导致解决大型问题的过程成本高昂。

算法

Levenberg-Marquardt和trust-region方法是基于非线性最小二乘算法也用于lsqnonlin中。如果系统可能没有零，请使用其中一种方法。该算法仍然返回一个残差较小的点。但是，如果系统的雅可比矩阵是奇异的，那么算法可能收敛到一个不是方程组解的点(参见局限性)。
fsolve在默认情况下选择trust-region dogleg算法。该算法是[8]中描述的Powell dogleg方法的变体。它本质上类似于[7]中实现的算法。见 Trust-Region Dogleg Method。
trust-region算法是一种子空间信赖域方法，基于[1]和[2]中描述的内反射牛顿法。每一次迭代都涉及到使用预先条件共轭梯度法(PCG)求解大型线性系统的近似解。参见 Trust-Region fsolve Algorithm。
Levenberg-Marquardt方法在文献[4]、[5]和[6]中有描述。查看Levenberg-Marquardt Method。

最后

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