本文我们读一下 D2D coded caching 中citation比较高的paper: Fundamental Limits of Caching in Wireless D2D Networks.

Abstract

首先这是一个D2D网络，只有用户没有基站，所有人的通信都是one-hop。每个用户都可以提前cache一些信息，取决于他们的本地容量。他们的需求可以是一个有限信息集中的任意信息。实际上这个问题在有基站的中心化场景下已经被研究过了。在他们的场景下，有一个全知的基站拥有所有的信息。由这个基站给所有用户广播coded info。本文研究的是这个问题的D2D版本。我们将提出一个deterministic caching policy和coded delivery policy使得用户之间可以传输线性编码的信息从而满足相互的需求。为了适用于完全分布式系统，我们也考虑一个随机的caching policy。这俩策略都能达到 outer bounds.

我们之前的工作已经证明了，当用户数和信息数量很大的时候，D2D+random caching+uncoded delivery这个框架可以达到与基站+multicast/broadcast框架同样的 throughout scaling law。换句话说，D2D网络中的空间复用增益与单基站编码广播增益是order-equivalent的。因此一个自然的问题是，空间复用增益和编码广播增益可以累加吗？违反直觉的，本文会证明这两者不能累加。

Comment: 直觉上他俩就不应该能累加，空间复用是说一个时间同时给不同空间的人发信息，coded multicast是说同时给多个人发送同样信息可以用coding带来增益。这俩本质上就是违背的。作者如果能证明他们能累加那才是违反直觉的。

Introduction

caching的意义在于，用户的需求有大量相同，因此没必要让每个用户都从core network中下载信息，而是可以在一些网络节点, 比如base station, device, or helper node，处存储一些信息。

D2D random caching – 在 [5,8] 中，本文作者研究了一个D2D网络 with $n$ 个用户。caching 发生在用户端，每个用户可以从一个大小为 $m$ files 的library中存储 $M$ files. 在[9]中的简单协议模型下，我们发现 random caching + interference-avoidance transmission with full spatial reuse 可以使得每个用户的吞吐量表现为 $\Theta \left(\frac{M}{m}\right)$, 用户请求被拒绝的概率即 outage Pr可以被固定为一个很小的常数，前提是 $n,m\to \infty$ and $nM\gg m$.

coded multicasting – 在中心化的基站场景下，[10] 中考虑让每个用户存储精心设计的caches，从而使得对于用户的任意需求，一个coded message就可以满足他们所有的需求。这个coded message的大小是一个常数乘以单个file的大小. 当 $nM\gg m$ 时，throughput scaling 也是 $\Theta \left(\frac{M}{m}\right)$.

现有部署 – 当 $M$ 固定 $m$ 很大时，实际中部署的系统用一个TCP/IP connection服务一个用户的demand，这种scheme的per-user throughout scaling 是 $\Theta \left(\frac{1}{n}\right)$. 这是因为下行的throughput被 $n$ 个用户共享，每个人只能分到 $1/n$. 本质原因还是它没有利用 caching 来 exploit 用户之间需求的重复性，即需求很大，但是library里的文件是有限的 $nM\gg m$.

本文主要探索 coded multicasting 和 spatial reuse能否一起使用从而使两种增益叠加。

Remark (notation of order): 对于任意两个函数 $f$ 和 $g$:

1. Big O notation: $f(n)=O(g(n))$ 表示存在有常数 $c$ 和 整数 $N$ 使得 $n>N$ 时 $f(n)\le cg(n)$;
2. Small o notation: $f(n)=o(g(n))$ 等价于 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{f(n)}{g(n)}=0$;
3. Big Omega notation: $f(n)=\Omega (g(n))$ 等价于 $g(n)=O(f(n))$;
4. Small omega notation: $f(n)=\omega (g(n))$ 等价于 $g(n)=o(f(n))$;
5. Big Theta notation: $f(n)=\Theta (g(n))$ 等价于 $f(n)=O(g(n))$ and $g(n)=O(f(n))$.

System Model

我们考虑图1所示的 grid network，其中

1. 有 $n$ 个节点 U = { u : u = 1 , 2 , . . . , n } U={u:u=1,2,...,n} U={u:u=1,2,...,n}, 小正方形边长 $1/\sqrt{n}$, 即总面积fix, 人越多越dense;
2. 总共有 $m$ 个files F = { 1 , 2 , . . . , m } mathcal{F}={1,2,...,m} F={1,2,...,m}, 用户可任意索取其中一个file $f_u\in \mathcal{F}$, $u=1,2,...,n$.
3. 用户 $i$ 给 $j$ 传消息能成功的前提是 $i,j$之间的距离小于 $r$ (等于都不行), $j$ 方圆 $(1+\Delta )r$ 距离以内无人发送信号 (另一发送节点在$(1+\Delta )r$都可，但是小于就不行)；
4. 用户以固定的rate $C_r$ bits/s/Hz 发送数据且 $C_r$ 是距离的非增函数.
5. 每个用户有大小为 $M$ files 的cache，注意D2D场景下的一个必须条件是
   $$t\triangleq nM/m\ge 1$$ 否则肯定有一部分files是missing的. 这个条件在有base station的情况下不需要，或者用户请求时随机的时候也不需要 (本文将会考虑最坏的请求比如所有人要所有的file，此时这个条件就是必须的了，不然总有需求不能被满足)。

在video on-demand streaming 这一应用中，两个用户同时索取同一file的概率是0，这被称为 asynchronous content reuse. 为了描述这一特征且避免overhearing for free，本文的streaming model如下:

1. library 中的 $m$ 个files每个都被分为 $L$ 个packets;

2. 每个用户下载所需要的file的任意 $L^{\prime }$ 个packets；

综上，只要 $L$ 很大, $L^{\prime }$ finite, 即使两个用户需求同一个file，他们所需要的segments也是不一样的。

对于任意一个用户 $u$, 他需求的file $f_u$ 可以被划分为
f u = { W f u j : i = 1 , 2 , . . . , L } ,    f u = 1 , 2 , . . . , m f_u = {W^j_{f_u}:i=1,2,...,L}, ~~ f_u=1,2,...,m fu​={Wfu​j​:i=1,2,...,L},  fu​=1,2,...,m

其中每个packet $W_{f_u}^j$ 有 $F$ 个bits，且每个bits是i.i.d. uniform的。换句话说，$W_{f_u}^j$ 有 $2^F$ 种可能，每种概率一致。用户 $u$ 会从 $L$ 个pkts里面选取 $L^{\prime }$ 个连续的segments，因此只要我们把他需要的起始指针记作 s u ∈ { 1 , 2 , . . . , L − L ′ + 1 } s_uin{1,2,...,L-L'+1} su​∈{1,2,...,L−L′+1}, 那它所需要的的pkts便是 $W_{f_u}^{s_u}$, $W_{f_u}^{s_u+1}$, …, $W_{f_u}^{s_u+L^{\prime }-1}$.

Definition 1 (Caching Phase) Caching phase 顾名思义就是把 $m$ 个file怎么预先存到每个用户大小为 $M$ files 的caches中去。第 $u$ 个用户存放的内容可以记作
$$Z_u\triangleq {\varphi }_u\left(W_f^j,f=1,2,...,.;j=1,2,...,L\right),$$
其中 policy ${\varphi }_u:{\mathbb{F}}_2^{mLF}\to {\mathbb{F}}_2^{MLF}$ 是一个mapping。

Comment: 这个定义很dull, 而且confuse readers到底是按bits还是按pkts存放。合理的猜测是按照pkts存放。

Definition 2 (Coded Delivery Phase) Delivery phase 可以由两组函数定义出: 每个用户的encoding functions { ψ u } {psi_u} {ψu​} 和每个用户的 decoding functions { λ u } {lambda_u} {λu​}.

Transmit: 对于任意一个用户 $u$, 当收到一个request vector $q$ 时，他要根据request内容和自己的本地caches来决定自己要发送的内容，即
$${\psi }_u:{\mathbb{F}}_2^{MLF}\times {\mathcal{F}}^n\to {\mathbb{F}}_2^{R_u^T}$$

$$X_{u,q}\triangleq {\psi }_u\left(Z_u,q\right)$$

其中 F = { 1 , 2 , . . . , m } mathcal{F}={1,2,...,m} F={1,2,...,m} 是 file library; $R_u^T$ 是要发送的bit 个数，那么用户 $u$ 的coding rate便为 $R_u=\frac{R_u^T}{L^{\prime }F}$.

Receive: 假设用户 $u$ 接收到了 a set of users ${\mathcal{D}}_u$ 的信号。那么，它将试图解自己需求的那些packets，即
W ^ u , q ≜ λ u ( { X v , q : v ∈ D u } , Z u , q ) hat{W}_{u,q}triangleq lambda_uleft({X_{v,q}:vinmathcal{D}_u},Z_u, q right) W^u,q​≜λu​({Xv,q​:v∈Du​},Zu​,q)

其中, ${\lambda }_u$ 这个映射可以表示为 ${\mathbb{F}}_2^{{\sum }_{v\in {\mathcal{D}}_u}{R}_u^T}\times {\mathbb{F}}_2^{MLF}\times {\mathcal{F}}^n\in {\mathbb{F}}_2^{F{L}^{\prime }}$.

作者将考虑使系统吞吐量最差的用户需求。Worst-case error Pr. 为
P e = max ⁡ q ∈ F n , s ∈ { 1 , 2 , . . . , L − L ′ + 1 } n max ⁡ u ∈ U P ( W ^ u , q ≠ ( W f u s u , . . . , W f u s u + L ′ − 1 ) ) P_e=max_{qinmathcal{F}^n,sin{1,2,...,L-L'+1}^n}max_{uinmathcal{U}}mathbb{P}left(hat{W}_{u,q}neq(W^{s_u}_{f_u},...,W^{s_u+L'-1}_{f_u}) right) Pe​=q∈Fn,s∈{1,2,...,L−L′+1}nmax​u∈Umax​P(W^u,q​​=(Wfu​su​​,...,Wfu​su​+L′−1​))
即，内层的max是在所有的用户中选一个错误率最高的，外层的max是遍历所有用户的可能需求, 包括files (共 ${\mathcal{F}}^n$) 和可能的起始位置 (共 { 1 , 2 , . . . , L − L ′ + 1 } n {1,2,...,L-L'+1}^n {1,2,...,L−L′+1}n), max内部的概率是译码错误的概率。

令 $R={\sum }_{u\in \mathcal{U}}{R}_u$. 那么一个cache-rate对 $(M,R)$ 是 achievable 的 if 随着包长 $F$ 的增加，总存在一组 caching mapping { ϕ u } {phi_u} {ϕu​}, encoding and decoding functions { ψ u , λ u } {psi_u,lambda_u} {ψu​,λu​} 使得总速率小于 $R$ 的情况下保证最差的错误率大小于 $\epsilon$, $\forall \epsilon >0$. 即满足:
$$\underset{F\to \infty }{\mathrm{limsup}}{R}^{(F)}\le R,\underset{F\to \infty }{\mathrm{limsup}}{P}_e^{(F)}\le \epsilon .$$

需要注意的是他这里的rate定义的是发送bits除以传输bits，跟传统的rate定义刚刚好相反，因此它需要minimize。最优可达rate定义为
R ∗ ( M ) ≜ inf ⁡ { R : ( M , R )  is achievable } R^*(M)triangleq inf {R:(M,R) text{ is achievable}} R∗(M)≜inf{R:(M,R) is achievable}

总之，给定存储大小 $M$, 作者的意图就是用更小的rate来让 $\text{Pe}$ 尽可能小。而且更小的 rate 意味着干同样的事情需要发送bits少，吞吐量就更高。下面，作者进一步定义了吞吐量。

需要注意的是，$(M,R)$ is achievable 仅仅意味着存在caching scheme，encoding/decoding schemes 使得每个用户可以用 $R_u=R_u^T/L^{\prime }F$ 的rate传输使得总体 $Pe$ 任意小。但是实际中，由于通信的限制，两个用户之间传输的rate还要受 $C_r$ 的限制。也就是说 $(M,R)$ 虽然理论上可达，但是实际中加上通信的限制后并不一定可达。这就需要我们设计用户之间的 transmission policy尽量能把 $R_u^T$ bits 传输给目标用户。

Definition 3 (Transmission policy) 传输策略 ${\Pi }_t$ 是一种在网络中建立D2D link的方式。我们把所有的 directed link 归纳到一个 set中并记为 $\mathcal{L}$. 令 $\mathcal{A}\subseteq 2^{\mathcal{L}}$ 所有$\mathcal{L}$ 的subsets构成的集合。那么 $\mathcal{A}$ 中任意元素就是所有一种D2D link的配置，它规定了哪些link是active的哪些是inactive的。 对于给定的 caching 方式和所有用户的 requests, ${\Pi }_t$ 就是定义在 $\mathcal{A}$ 上的一个PMF, 其每一个元素 ${\Pi }_t(A)$ 就是 $\mathcal{A}$ 中一个元素 $A$, 即一种 D2D link 配置, 的概率。本文只考虑deterministic transmission policy, 即${\Pi }_t$是一个one-hot vector.

Comment: 简而言之就是网络中所有可能有的direct link是 L = { 1 , 2 , . . . , B } mathcal{L}={1,2,...,B } L={1,2,...,B}, 那么可能的D2D link配置就有 $2^B$ 种，他们一起构成 $\mathcal{A}$. 给定一种caching方式和所有的requests, 我们可以从这$2^B$ 种配置中选择，这个选择概率分布就是 ${\Pi }_t$.

假设

1. 我们有一种caching scheme，encoding/decoding schemes 使得 $(M,R)$ achievable。注意这里的 $R$ 是所有用户 $R_u$ 的叠加。
2. 我们有一种transmission policy ${\Pi }_t$ 使得在使用 $t_s$ 次信道后能够把所有的 ${\sum }_u{R}_u^T=R{L}^{\prime }F$ 待传输bits全部送到对应用户手中。每次信道的使用可以传输 $C_r$ bits, $r$ 是发送接收端的距离。
3. Throughput per user 定义为:
   $$T\triangleq \frac{L^{\prime }F}{t_s}$$

Comment: 这个定义是不是略显草率。首先每个用户传输的bits $R_u^T$ 各不相同，每个人每次传输能够传输的bits $C_r$ 也各不相同。这里这个定义感觉非常的coarse. 可能后面坐着假设所有人的coding rate都是一样的，$C_r$ 也都是一样的？

To summarize，作者给出 $(M,T)$ is achievable 的定义：

1. $(M,R)$ is achievable.
2. 存在一种传输policy使得所有的bits能够在$t_s\le \frac{L^{\prime }F}{T}$ 次信道使用中完成传输。

最优 achievable throughput 定义为
T ∗ ( M ) ≜ sup ⁡ { T : ( M , T )  is achievable } T^*(M)triangleq supleft{T:(M,T) text{ is achievable} right} T∗(M)≜sup{T:(M,T) is achievable}

总之，本文主要需要解决两方面问题: 一是caching, encoding, decoding schemes 的设计; 二是 D2D 网络中传输策略的设计以决定同activate 的 links.

简单起见，作者先考虑一个简单的场景where整个网络中同时只能有一个node是active的；$r\ge \sqrt{2}$ so that 所有nodes之间都可以相互听到。在这个场景下，每个时刻只能有一个node发送，因此我们可以集中注意解决caching, encoding, decoding 的设计。

deterministic caching, achievability, and converse bound

简单情况: $r\ge \sqrt{2}$

Theorem 1: For $r\ge \sqrt{2}$, $t=nM/m\in {\mathbb{Z}}^{+}$, 以下rate是可达的
$$R(M)=\frac{m}{M}\left(1-\frac{M}{m}\right)$$当 $t$ 不是整数时，$R(M)$ 的 convex lower envelope 是可达的。

一个例子:

• 令用户数 $n=3$, 存储大小 $M=2$, 总共有 $m=3$ 个文件 $A,B,C$;
• $r\ge \sqrt{2}$ 所有人都能相互听到;
• 一个file被分为 $L$ 个pkt, 每个用户只需要其中 $L^{\prime }=1$个pkt;
• 一个pkt被分为 $6$ 个subpkt，因此大小为$F/6$ bits;

比如说，file A 就被分为$L$个pkt，每个pkt又被分为了$6$个subpkt，可以记为
{ A j , ℓ : j = 1 , 2 , . . . , L ; ℓ = 1 , 2 , . . . , 6 } {A_{j,ell}:j=1,2,...,L;ell=1,2,...,6} {Aj,ℓ​:j=1,2,...,L;ℓ=1,2,...,6}

存储方案: 三个用户 $u=1,2,3$ 分别存储
$$Z_1=\left(A_{j,1},A_{j,2},A_{j,3},A_{j,4},B_{j,1},B_{j,2},B_{j,3},B_{j,4},C_{j,1},C_{j,2},C_{j,3},C_{j,4}\right),\forall j$$$$Z_2=\left(A_{j,1},A_{j,2},A_{j,5},A_{j,6},B_{j,1},B_{j,2},B_{j,5},B_{j,6},C_{j,1},C_{j,2},C_{j,5},C_{j,6}\right),\forall j$$$$Z_3=\left(A_{j,3},A_{j,4},A_{j,5},A_{j,6},B_{j,3},B_{j,4},B_{j,5},B_{j,6},C_{j,3},C_{j,4},C_{j,5},C_{j,6}\right),\forall j$$

换句话说，如果把每个文件的pkt当做行, subpkt当做列，那么用户1存储了每个文件的1,2,3,4列，用户2存储了每个文件的1,2,5,6列，用户2存储了每个文件的3,4,5,6列. 这个4列的来源是因为每个人的容量为 $M=2$ files, 因此每人实际上可以存储 $2L\ast 6$ 个subpkts, 因此均分到 $m=3$ 个pkts，每个用户可以从预先在每个file里存储 $2L\ast 6/3=4L$ 个subpkts即4列。

我们假设三个用户需求的file是 $q=(A,B,C)$ (当然他们只需要其中的 $L^{\prime }/L=1/L$).

最后

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