目录

一、前言：

二、算法详细：

1.Jacobi 迭代法：

2.Gauss-Seidel 迭代法:

3.Thomas算法：

4.松弛法：

三、实现代码：

1、Jacobi 迭代法：

2、Gauss-Seidel 迭代法:

3、Thomas算法：

4、松弛法：

四、总结：

一、前言：

个人学习内容分享

二、算法详细：

1.Jacobi 迭代法：

设方程组

       其中

如果

则原方程组可化为

其中迭代矩阵

Jacobi迭代格式

可得解Ax=b的雅可比迭代法的计算公式为：

2.Gauss-Seidel 迭代法:

在Jacobi迭代公式中，计算时，利用已经算出来的新的值，从而得到G-S迭代法。（G-S迭代法是J迭代法的一种改进）

G- S迭代法的迭代矩阵：A=D-L-U.

但是由迭代公式

所以可得迭代矩阵

可得解Ax=b的高斯-塞德尔迭代法的计算公式为：

3.Thomas算法：

对于A为三对角矩阵时，可分解成以下形式

即可得到

从而求解Ax=f等价于解两个三角形方程组：

①Ly=f,求y,②Ux=y,求x.

进而追赶法公式为：

（1）计算{Bi}的递推公式

（2）解Ly=f

（3）解Ux=y

4.松弛法：

它是G-S迭代法的一种改进，利用第k次迭代值和第k+1次迭代值的G-S迭代值做加权平均。

可得解Ax=b的SOR方法的计算公式：

w是松弛因子。为1时,相当于不用松弛因子；大于1时,为超松弛因子,加快收敛速度；小于1时,欠松弛因子,改善收敛的条件。一般来讲,是在收敛不好的时候，采用一个较小的欠松弛因子。主要防止两次迭代值相差太大引起发散。松弛因子的值在0~1之间，越小表示两次迭代值之间变化越小，也就越稳定，但收敛也就越慢。

三、实现代码：

1、Jacobi 迭代法：

function [x,k]=Jacobi(A,b,error)
%功能：雅克比迭代法
%error为误差限
n=length(A);
x0=zeros(n,1);
x=x0;
k=0;
for i=1:n
x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x0(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);
end
while norm(abs(x-x0),1)>error
k=k+1;
x0=x;
for i=1:n
x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x0(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);
end
end
end

2、Gauss-Seidel 迭代法:

function [x,k]=GaussSeidel(A,b,error)
%功能：高斯-塞德尔迭代法
%error为误差限
n=length(A);
x0=zeros(n,1);
x=x0;
k=0;
for i=1:n
x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);
end
while norm(abs(x-x0),1)>error
k=k+1;
x0=x;
for i=1:n
x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);
end
end
end

3、Thomas算法：

function X=Thomas(a,b,c,f)
%功能：追赶法
%a,b,c分别为三对角阵的下，中，上对角元素向量集，f为Ax=b的b.
n=length(b);
B=f;
B(1)=c(1)/b(1);
for k=2:n-1
B(k)=c(k)/(b(k)-a(k)*B(k-1));
end
y(1)=f(1)/b(1);
for k=2:n
y(k)=(f(k)-a(k-1)*y(k-1))/(b(k)-a(k-1)*B(k-1));
end
X(n)=y(n);
for k=n-1:-1:1
X(k)=y(k)-B(k)*X(k+1);
end
end 

4、松弛法：

function [x,k]=SOR(A,b,w,error)
%功能：松弛因子迭代法
%error为误差限
n=length(A);
x0=zeros(n,1);
x=x0;
k=0;
for i=1:n
x(i)=(1-w)*x0(i)+w*((b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i));
end
while norm(abs(x-x0),1)>error
k=k+1;
x0=x;
for i=1:n
x(i)=(1-w)*x0(i)+w*((b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i));
end
end
end

四、总结：

迭代结果的差异主要是由于迭代表达式形式有关，不同的迭代形式直接会影响结果的收敛速度，一般来说，就像相同次数的乘除法运算的幅度会比加减法大很多，对于向精确值的逼近亦或者远离速度也会更快，也就是收敛或发散速度。

最后

以上就是洁净老师为你收集整理的数值分析·学习|J,G-S,T,SOR迭代法及其matlab实现目录一、前言：二、算法详细：三、实现代码：四、总结：的全部内容，希望文章能够帮你解决数值分析·学习|J,G-S,T,SOR迭代法及其matlab实现目录一、前言：二、算法详细：三、实现代码：四、总结：所遇到的程序开发问题。

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