[分布式控制] （3）简单分布式事件触发控制

事件触发控制（Event-triggered Control，ETC）是与传统的连续的周期控制不同的一类控制方法，事件触发控制不是在每个周期时都去计算和改变控制输入，而是在一些特定的、由系统稳定关系决定的一些特定时刻，去计算或改变控制输入。最早是K.Z Arzen教授和K.Astrom教授在首次提出的。
事件触发控制一般由两部分组成，第一是反馈控制器，第二是触发条件，也就是什么时候区更新控制输入。
本文根据笔者的经验和浅薄的知识，通俗易懂的介绍一个笔者认为较为经典的、容易理解的和一个分布式事件触发控制。
建议首先学习图论的预备知识以及简单的一致性理论：
[分布式控制] （1） 图论基础
[分布式控制] （2） 经典一阶系统的一致性问题

1 前言

经过多年的发展，分布式事件触发控制已经衍生出了很多，根据笔者的经验，大致有以下五种主要类别：
基于事件的控制（Event-Based Control，ETC）
基于模型的事件触发控制（Model-Based Event-Triggered Control）
基于采样数据的事件触发控制（Sampled-Data-Based Event-Triggered Control）
自触发控制（Self-Triggered Control）
动态事件触发控制（Dynamic Event-Triggered Control）
如果您想深入了解他们差异细节和讨论的不同问题，您可以参考下篇这篇综述：
Ding L, Han Q, Ge X, et al. An Overview of Recent Advances in Event-Triggered Consensus of Multiagent Systems[J]. IEEE Transactions on Cybernetics, 2018,48(4):1110-1123.

不过本文仅仅介绍其中一个笔者认为较为经典的、容易理解的和一个分布式事件触发控制，是基于Dimos V. Dimarogonas教授2012年的一篇TAC：
Dimarogonas D V, Frazzoli E, Johansson K H. Distributed Event-Triggered Control for Multi-Agent Systems[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2012,57(5):1291-1297.

2 分布式事件触发控制

考虑无向图。
系统方程：
$${\dot{x}}_i=u_i$$事件触发控制器：
$$\begin{array}{cc}{u}_i\left(t\right)=q_i\left(t\right)=-k\sum _{j\in N_i}\left(x_i\left(t_k^i\right)-x_j\left(t_{k^{\prime }\left(t\right)}^j\right)\right)& t\in \left[t_k^i,t_{k+1}^i\right)\end{array}$$

切换条件：
$$e_i^2\left(t\right)\le \frac{\sigma }{2k{l}_{ij}}{\hat{q}}_i\left(t\right)$$

其中：
$$0<\sigma <1$$$$\begin{array}{cc}{e}_i\left(t\right)=x_i\left(t_k^i\right)-x_i\left(t\right)& t\in \left[t_k^i,t_{k+1}^i\right)\end{array}$$

对于$t\in \left[t_k^i,t_{k+1}^i\right)$，$t_{k^{\prime }\left(t\right)}^j$为智能体$j$上次事件触发更新事件。因此，控制$u_i\left(t\right)$会在自身时刻事件触发$t_0^i,t_1^i,\dots$，以及其邻居事件触发更新时刻$t_0^j,t_1^j,\dots$ ，进行更新。值得注意的是，智能体$i$和$j$一般不会在同一时刻发生事件触发，因此$t_k^i$和$t_k^j$表示的是不同时刻。
好了，这就是Dimos V. Dimarogonas教授提出的控制律，可以发现，输入$u_i\left(t\right)$是非连续的，因为$x_i\left(t_k^i\right)$和$x_j\left(t_k^j\right)$是非连续的。
下面进行理论层面的分析。

3 稳定性分析

考虑Lyapunov函数：
$$\begin{array}{rl}& V=\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^T\left(I_n-\frac{1}{n}{1}^{T}1\right)\mathbf{x}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{\left(x_i\left(t\right)-\bar{x}\left(0\right)\right)}^2\end{array}$$其中$\bar{x}\left(0\right)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i\left(0\right)$
求导：
$$\begin{array}{rl}& \dot{V}=\sum _{i=1}^n\left(x_i\left(t\right)-\bar{x}\left(0\right)\right){\dot{x}}_i\left(t\right)\\ & =\sum _{i=1}^n{x}_i\left(t\right)\sum _{j=1}^n-k{l}_{ij}{\hat{x}}_j\left(t\right)\\ & =-\sum _{i=1}^n\left({\hat{x}}_i\left(t\right)-e_i\left(t\right)\right)\sum _{j=1}^{n}k{l}_{ij}{\hat{x}}_j\left(t\right)\\ & =-\sum _{i=1}^n{\hat{q}}_i\left(t\right)-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{e}_i\left(t\right)k{l}_{ij}{\hat{x}}_j\left(t\right)\\ & =-\sum _{i=1}^n{\hat{q}}_i\left(t\right)-\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,i\ne j}^n{e}_i\left(t\right)k{l}_{ij}\left({\hat{x}}_j\left(t\right)-{\hat{x}}_i\left(t\right)\right)\\ & \le -\sum _{i=1}^n{\hat{q}}_i\left(t\right)+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,i\ne j}^{n}k{l}_{ij}{e}_i^2\left(t\right)+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,i\ne j}^n\frac{1}{4}k{l}_{ij}{\left({\hat{x}}_j\left(t\right)-{\hat{x}}_i\left(t\right)\right)}^2\\ & =-\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\hat{q}}_i\left(t\right)+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,i\ne j}^{n}k{l}_{ij}{e}_i^2\left(t\right)\end{array}$$

其中：
$$\sum _{i=1}^n{\hat{q}}_i\left(t\right)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,i\ne j}^n\frac{1}{2}k{l}_{ij}{\left({\hat{x}}_j\left(t\right)-{\hat{x}}_i\left(t\right)\right)}^2=k{\hat{\mathbf{x}}}^T\left(t\right)L\hat{\mathbf{x}}\left(t\right)$$$$e_i\left(t\right)\left({\hat{x}}_j\left(t\right)-{\hat{x}}_i\left(t\right)\right)\le e_i^2\left(t\right)+{\left({\hat{x}}_j\left(t\right)-{\hat{x}}_i\left(t\right)\right)}^2$$
容易知道，该系统在控制时必然满足切换条件$e_i^2\left(t\right)\le \frac{\sigma }{2k{l}_{ij}}{\hat{q}}_i\left(t\right)$，那么代入切换条件，即有：
$$\begin{array}{rl}& \dot{V}\le -\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}{\hat{q}}_i\left(t\right)+\sum _{i=1}^n\sum _{j=1,i\ne j}^{n}k{l}_{ij}{e}_i^2\left(t\right)\\ & \le -\frac{1}{2}\left(1-\sigma \right){\hat{\mathbf{x}}}^T\left(t\right)L\hat{\mathbf{x}}\left(t\right)\le \text{0}\end{array}$$

显然，是渐近稳定的。

最后

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