理解伯德图-3/4简单系统

视频地址：http://www.ilovematlab.cn/article-10-1.html

我们知道，在MATLAB里，类似Bode这种函数，可以很容易的从系统动态方程或者输入输出传递函数中直接得到频谱图。

控制工程师的关键不仅仅是能把这些频谱图画出来，更重要的是要充分理解图中的幅值、相位曲线告诉了我们哪些系统动态以及稳定性等信息。

Bode图最早是由Hendrik Wade Bode提出来的，Hendrik是他名字，大概是1930年，第二次世界大战之前。这家伙是个天才的工程师，将时域的系统分析与控制系统设计转到频域。

记住，当时还没有计算机，所以，我猜当时的工程师可以利用近似的方式来计算。这是指，用近似分析的方式非常简单，也非常非常的有用。

它帮助我们更好的理解，这些图是如何绘制是如何绘制出来的。

Pure Integrator

我们首先来看这个最简单的纯积分环节，1/s。

如果我们用jw来代替s，函数G就变成了复平面上的一个纯虚数向量，分子分母同时乘以j，-1的根。

它的相位为常数-90，幅值1/w。可以看到，当w从0增大到无穷大，幅值从无穷大减小到0。

如果用dB的形式来表示，它分成两部分20log(分子)-20log(分母)，这里分子是1，分母是w。我们知道log(1)=0，所以这部分去掉。

可以看到伯德图的幅值轨迹是一条直线，这是因为我们的x轴是以log(w)为坐标的。所以它是一个斜率为-20dB/unit的曲线，这里每单位是十倍频率。

相位保持常数，-90度，与频率无关。

Pure Differentiator

现在我们来看纯微分环节，G=s，现在jw变成分子，线的斜率也就变成了+20dB/decade,相位为常数90deg。

单极点

现在我们来看一个稍微复杂的系统，一个极点，时间常数为t(tao)。

同样，如果我们想看频率特性，我们将s替换为jw，这个向量的幅值为20log(1)减去20log(一堆多项式)，log(1)为0。这里看到，要绘制它的曲线非常复杂。

我们现在以另一种方式去分析这个式子，把这个式子分为两部分。

一部分是，频率远小于极点，这里是1/t，这时t*w的结果非常非常小，所以分母里的1主要影响这个式子。这时G近似等于1/1，实轴上的向量。同时，相位也约等于0。幅值取log后，近似为0。

当频率远大于极点时，分母里的tw变成主要部分，这时，G变成纯的负虚向量。这表示，相位变成-90deg，幅值的dB图是一条直线，斜率为-20dB/dec，与零点的相交频率为1/t。

可以看到，实际的频谱曲线与我们估算的非常接近。当然，误差最大的地方是在频率为1/t的地方。

从相位图上看，从0到90度的变换横跨两个十倍频的范围。如果你想得到更精确的角度信息，我们可以认为相位在极点前后各变化了45度。

单零点

使用类似的方法，我们可以看到单零点系统可以得到类似的结果。在这里，唯一不一样的是，零点在分子上，所以相位偏移+90度，零点之后幅值变化的斜率是+20dB/dec.

Matlab 工具

在这里，我想演示一下，使用MATLAB的工具来互动的了解这里的原理。

这里我们看到的是，传递函数为常数1的bode图。

这里能看到系统传递函数G=1，log(1)对应0dB，幅值相位都为0，因为它是一个正实数。

现在来看，如果添加一个极点，它会怎么变化。

(操作)

可以看到，它的斜率在增加极点的地方折向下变为-20dB，相位也偏移-90度。如果我将这个极点左移或者右移，让系统响应变快或者变慢。这里做的其实也就是挪动cut-off frequncy，截至频率。

现在把这个极点擦掉，引入一个零点。

就跟我们预期一样，幅值斜率向上折为20dB/dec，相位偏移90度。

可以看到，这个纯零点的系统幅值在频率高的地方会变为无穷大。这一般是不可接受的，因为这会导致系统会放大所有高频噪音。

所以，一般在有一个零点的系统，相应的会在高频部分有个极点，将高频部分的幅值降下来。因为频谱图的log坐标系统，将乘除变成了加减。由零点带来的+20dB斜率，被极点引入的-20dB斜率抵消。

同样，零点带来的+90度偏移，也被极点引入的-90度抵消。

如果我在高频段有噪音需要抑制，那我要做的就是在第一个极点的旁边添加第二个极点。现在可以看到，最后的斜率变成-20dB。

如果你需要让斜率变得更大，只需要简单的再添加入一个极点，boom,就变成-40dB了。

MATLAB的这种交互式设计工具远远要比纸上容易得多。在哈佛教书的Bode博士要是能用到这个工具也会爱上它。

不管你信不信，反正我信了。

最后

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