信息熵、联合熵、条件熵、互信息

1. 自信息量

一个随机事件$x$的自信息量¹定义为：
$$I(x)=\log \frac{1}{p(x)}$$

注意，在信息论中，$\log$函数的底通常设置为2，此时，自信息量的单位为比特(bit)；在机器学习中，$\log$函数的底通常设置为自然常数e，此时，自信息量的单位为奈特(nat)。

需要从以下两方面来理解自信息量：

• 自信息量表示，如果随机事件$x$发生的概率$p(x)$越小，一旦其发生，所获得的信息量就越大
• 自信息量反映了事件发生的不确定性

举例说明，“中彩票”事件的概率极小，但是一旦中了彩票，“中彩票”事件的自信息量很大，也就是说，“中彩票”会获得极大的信息量（即收益）。另一方面，“中彩票”事件的概率很低，自信息量很大，意味着“中彩票”事件发生的不确定性也很大。

• 发生概率越高的事情，具有的自信息量越少
• 发生概率越低的事情，具有的自信息量越多

2. 信息熵

一个随机变量$X$的信息熵²定义为：
$$\begin{gathered} H(X)=\sum _{x_i\in X}p(x_i)I(x_i) \\ =\sum _{x_i\in X}p(x_i)\log \frac{1}{p(x_i)}. \end{gathered}$$

简记为：$$H(X)=-\sum _{x}p(x)\log p(x).$$

信息熵的单位与自信息量一样。一个随机变量$X$可以有多种取值可能，信息熵是随机变量$X$所有可能情况的自信息量的期望。信息熵$H(X)$表征了随机变量$X$所有情况下的平均不确定度。

• 不确定度越大，信息量越大
• 不确定度越小，信息量越小

3. 最大熵定理

当随机变量$X$所有取值的概率相等时，即$p(x_i)$的概率都相等时，信息熵取最大值，随机变量具有最大的不确定性。例如，情景一：买彩票中奖和不中奖的概率都是$0.5$时，此时买彩票是否中奖的不确定性最大。情景二：真实情况中，不中奖的概率远远大于中奖的概率，此时的不确定性要小于情景一，因为几乎能确定为不中奖。

最大熵定理

当随机变量 $X$，在离散情况下所有取值概率相等（或在连续情况下服从均匀分布），此时熵最大。即 $0\le H(X)\le \log |X|$，其中 $|X|$表示 $X$的取值个数。

例1. 根据经验判断，买彩票中奖的概率是$80\%$，不中奖的概率是$20\%$，求买彩票的信息熵。

解： 买彩票的概率空间为：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{X}{P}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ 0.8& 0.2\end{array}\right)$$

其中，$x_1$表示买的彩票没奖，$x_2$表示买的彩票有奖。

• 买彩票后，“没中奖”事件获得的自信息量为：
  $$I(x_1)={\log }_2\frac{1}{0.8}={\log }_{2}1.25=\frac{{\log }_{10}1.25}{{\log }_{10}2}=0.322\text{bit}$$
• 买彩票后，“中奖”事件获得的自信息量为：
  $$I(x_2)={\log }_2\frac{1}{0.2}={\log }_{2}5=\frac{{\log }_{10}5}{{\log }_{10}2}=2.322\text{bit}$$

由$I(x_1)<I(x_2)$可知，彩票有奖的不确定性要大于彩票没奖。

买彩票的信息熵为：
$$H(X)=p(x_1)I(x_1)+p(x_2)I(x_2)=0.8\ast 0.322+0.2\ast 2.322=0.722\text{bit}$$

**结果分析：**由最大熵定理可知，信息熵$H(X)$的最大值为$H(X{)}_{\max }=-\log 1/2=1$。例$1$中$H(X)$小于1比特，意味着不确定性减少，带来的信息量也减少。也就是说，先验经验（买彩票大概率不中奖）减少了不确定性。

4. 联合熵

随机变量$X$和$Y$的联合熵定义为：
$$\begin{gathered} H(X,Y)=\sum _{x_i\in X}\sum _{y_i\in Y}p(x_i,y_i)I(x_i,y_i) \\ =\sum _{x_i\in X}\sum _{y_i\in Y}p(x_i,y_i)log\frac{1}{p(x_i,y_i)} \end{gathered}$$

简记为：$$H(X,Y)=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)$$

**联合熵$H(X,Y)$表示随机变量$X$和$Y$一起发生时的信息熵，即$X$和$Y$一起发生时的确定度。**通俗地讲，联合熵$H(X,Y)$表示$X$和$Y$一起发生时，产生的信息量。

5. 条件熵$H(X|Y)$

随机变量$X$和$Y$的**条件熵$H(Y|X)$**定义为：
$$H(X|Y)=\sum _{y_j\in Y}p(y_j)H(X|Y=y_j)$$

**条件熵$H(X|Y)$表示已知随机变量$Y$的情况下，随机变量$X$的信息熵，即在$Y$发生的前提下，$X$发生后新带来的不确定度。**通俗地讲，条件熵$H(X|Y)$表示在$Y$发生的前提下，$X$发生新带来的信息量。

具体使用形式为：
$$\begin{gathered} H(X|Y)=\sum _{y_j\in Y}p(y_j)H(X|Y=y_j) \\ =-\sum _{y_j\in Y}p(y_j)\sum _{x_i\in X}p(x_i|y_j)\log p(x_i|y_j) \\ =-\sum _{y_j\in Y}\sum _{x_i\in X}p(y_j)p(x_i|y_j)\log p(x_i|y_j) \\ =-\sum _{x_i,y_j}p(x_i,y_j)\log p(x_i|y_j) \end{gathered}$$

简记为：$$H(X|Y)=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x|y)$$

条件熵$H(X|Y)$与联合熵$H(X,Y)$的关系为：
$$H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y)$$

推导过程如下：
$$\begin{gathered} H(X|Y)=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x|y) \\ =-\sum _{x,y}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(y)} \\ =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)+\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y) \\ =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)+\sum _y（\sum _{x}p(x,y)）\log p(y) \\ =-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(x,y)+\sum _{y}p(y)\log p(y) \\ =H(X,Y)-H(Y) \end{gathered}$$

5. 条件熵$H(Y|X)$

随机变量$X$和$Y$的**条件熵$H(Y|X)$**定义为：
$$H(Y|X)=\sum _{x_i\in X}p(x_i)H(Y|X=x_i)$$

**条件熵$H(Y|X)$表示已知随机变量$X$的情况下，随机变量$Y$的信息熵，即在$X$发生的前提下，$Y$发生后新带来的不确定度。**通俗地讲，条件熵$H(Y|X)$表示在$X$发生的前提下，$Y$发生新带来的信息量。

具体使用形式为：
$$\begin{gathered} H(Y|X)=\sum _{x_i\in X}p(x_i)H(Y|X=x_i) \\ =-\sum _{x_i\in X}p(x_i)\sum _{y_j\in Y}p(y_j|x_i)\log p(y_j|x_i) \\ =-\sum _{x_i\in X}\sum _{y_j\in Y}p(x_i)p(y_j|x_i)\log p(y_j|x_i) \\ =-\sum _{x_i,y_j}p(x_i,y_j)\log p(y_j|x_i) \end{gathered}$$

简记为：$$H(Y|X)=-\sum _{x,y}p(x,y)\log p(y|x)$$

条件熵$H(Y|X)$与联合熵$H(X,Y)$的关系为：
$$H(Y|X)=H(X,Y)-H(X)$$

推导过程见$H(X|Y)$。

7. 互信息

互信息量定义为后验概率与先验概率比值的对数：
$$I(x_i;y_j)=\log \frac{p(x_i|y_j)}{p(x_i)}$$

互信息（平均互信息量）：
$$I(X;Y)=\sum _{x_i\in X}\sum _{y_j\in Y}p(x_i,y_j)\log \frac{p(x_i|y_j)}{p(x_i)}$$

简记为：
$$I(X;Y)=\sum _{x,y}p(x,y)\log \frac{p(x|y)}{p(x)}$$

互信息具有以下性质：
$$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)=I(Y;X)$$

互信息的理解：
$H(X)$是$X$的不确定度，$H(X|Y)$是$Y$已知时是$X$的不确定度，则$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)$表示$Y$已知使得$X$的不确定度减少了$I(X;Y)$。$Y$已知时$X$的不确定度为$H(X|Y)=H(X)-I(X;Y)$。

8. 小结

关系图：

最后

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