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第二章习题与答案

求以下序列的z变换并画出零极点图和收敛域。

分析：

Z?变换定义，

n的取值是的有值范围。Z变换的收敛域

是满足

的z值范围。

解：(1) 由Z变换的定义可知：

解：(2) 由z变换的定义可知：

解:(3)

解： (4)

??，

解：(5) 设

则有 ?

而

∴

因此，收敛域为 ：

解：(6)

2 . 假如的z变换代数表示式是下式，问可能有多少

不同的收敛域。

分析：

解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得

X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4

∴ X(Z)的收敛域为 :

(1) 1/2 < | Z | < 3/4 ,?为双边序列， 请看

(2) | Z | < 1/2??,? 为左边序列，请看

?? ? (3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看

分析：

长除法：对右边序列(包括因果序列)H(z)的分子、分母都要按

z的降幂排列，对左边序列(包括反因果序列)H(z)的分子、分

母都要按z的升幂排列。

部分分式法：若X(z)用z的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分

式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z反变换可得

x(n)。

留数定理法：

(1)(iii)部分分式法：

因为

所以

(1)(i)长除法：

所以：

(1)(ii)留数定理法：

, 设 c为

内的逆时针方向闭合曲线：

当时，

在c内有

一个单极点

则

(3)(iii). 部分分式法：

则

所以

(2)(i). 长除法：

,

因而 是左边序列,所以要按的

升幂排列：

所以

(2)(ii)留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线

在c外有一个单极点

在c内有一个单极点

∴

综上所述，有：

(2)(iii). 部分分式法：

则

因为 则是左边序列

所以

(3)(i). 长除法：

因为极点为，由可知,为

因果序列, 因而要按 的降幂排列:

则

所以

(3)(ii). 留数定理法:

内的逆时针方向闭合曲线。

4. 有一右边序列 ，其 变换为

将上式作部分分式展开(用 表示)，由展开式求 。

将上式表示成 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开

式求 ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。

解：(a)

因为

且x(n)是右边序列

所以

(b)

5．对因果序列,初值定理是,如果序列为 时

,问相应的定理是什么?

,其z变换为：

注意：不管哪种表示法最后求出x(n)应该是相同的。

分析：

这道题讨论如何由双边序列Z变换来求序列

初值，把序列分成因果序列和反因果序列两部分，

[它们各自由求表达式是不同的]，将它们

各自的相加即得所求。

若序列的Z变换为：

由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆

则其收敛域应该为：

有一信号,它与另两个信号和的

关系是:

其中 ，

已知 ，

分析：

解：根据题目所给条件可得：