MATLAB信号处理——信号的变换（4）2-4离散的傅里叶变换

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我是靠谱客的博主老实夏天，最近开发中收集的这篇文章主要介绍MATLAB信号处理——信号的变换（4）2-4离散的傅里叶变换，觉得挺不错的，现在分享给大家，希望可以做个参考。

概述

2-4离散的傅里叶变换

现在将之前的公式应用于离散的傅里叶级数中。

在信号处理中，遇到的常常不是一个函数，而是一个离散的数列。

下面对取值范围进行改造，首先，得到的数字信号只能在正的时间段取值，在负的时间段不能取值，但由于取的是无限长的周期序列，周期为2l，因此，把取值范围（-l,l）修改为（0,2l）,这样就可以避免在负的时间段取值。

由于处理的是离散的数据序列，因此不能进行积分，而应用积分的离散形式，用求和来表示，即 $int_{0}^{2l}rightarrow sum_{k=1}^{N}x_{k}$ ，在（0,2l）里等间隔取N个取值点，取样间隔为 $dxrightarrow Delta t$ ，其中 $l=frac{NDelta t}{2}$ 。

可以得到 $f(x) rightarrow {x_{0},x_{1},x_{2}cdotcdotcdot,x_{N-1}}$

$frac{nxpi}{l}rightarrow frac{kiDelta tpi}{frac{NDelta t}{2}}=frac{2kipi}{N}$

离散形式为： $x_{i}=frac{a_{0}}{2}+sum_{k=1}^{m}(a_{k}cosfrac{akipi}{N}+b_{k}sinfrac{2kipi}{N})$

其中 $a_{0}=frac{1}{frac{NDelta t}{2}}sum_{i=0}^{N-1}x_{i}=frac{2}{N}sum_{i=0}^{N-1}x_{i}$ ， $a_{k}=frac{1}{frac{NDelta t}{2}}sum_{i=0}^{N-1}x_{i}cosfrac{2kipi}{N}=frac{2}{N}sum_{i=0}^{N-1}x_{i}cosfrac{2kipi}{N}$ ， $b_{k}=frac{1}{frac{NDelta t}{2}}sum_{i=0}^{N-1}x_{i}sinfrac{2kipi}{N}=frac{2}{N}sum_{i=0}^{N-1}x_{i}sinfrac{2kipi}{N}$ ，在实际数据处理中，k一般取N/2，此时波的周期最小，获得的频率范围最大，所以想要获得高频率的信号，就需要缩短取样间隔。

MATLAB提供了dftmtx函数来获得一个复数傅里叶变换矩阵，用法为a = dftmtx(x)

例1.计算序列x(n)的DFT

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t = linspace(1e-3,100e-3,10);
xn = sin(100*2*pi*t);
N = length(xn);
WNnk = dftmtx(N);
Xk = xn*WNnk;
subplot(121);
stem(1:N,xn);
subplot(122);
stem(1:N,abs(Xk));